Question

已知函数f（x）不恒为0，且对任意x，y属于R，有f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y），

已知函数f（x）不恒为0，且对任意x，y属于R，有f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y），若存在常数T，使得f（T）=0，求证：4T是f（x）的一个周期，且-1≤f（x）≤1

Answer 1

f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)
f(0+0)+f(0-0)=2f(0)f(0)
f(0)=0或f(0)=1
若f(0)=0
f(x+0)+f(x-0)=2f(0)f(0)=0,即f(x)=0,与题意不符。
∴f(0)=1
f(0+y)+f(0-y)=2f(0)f(y)→f(y)=f(-y) f(x)是偶函数
f(2x)=2²f(x)-1
f(T+T)+f(T-T)=f(2T)+f(0)=2f(T)f(T)=0
∴f(2T)=-1
f(2T+2T)+f(2T-2T)=f(4T)+f(0)=2f(2T)f(2T)=2
f(4T)=1
f(x+4T)+f(x-4T)=f(x+4T)+f[-(x+4T)]
=2f(x+4T)=2f(x)f(4T)=2f(x)
∴f(x+4T)=f(x) 4T是f(x)的一个周期
如存在x₁，使得f(x₁)<-1
f(x₁/2+x₁/2)+f(x₁/2-x₁/2)=f(x₁)+1=2f²(x₁/2)
∵f(x₁)<-1
∴f(x₁)+1<0
∴2f²(x₁/2)<0 不成立
∴f(x)≥-1 ①
f(x+T)+f(x-T)=2f(x)f(T)=0
f(x+T)+f(T-x)=0
f(x+T)=-f(T-x)
如存在x₂，使得f(x₂)>1
令x₂=x+T→x=(x₂-T)
f(x₂)=-f(T-(x₂-T)=-f(-x₂)
∴f(-x₂)<-1 不成立