Question

证明lim(x,y)→(0,0)(1+xy)^(1/(x+y))的极限 不存在

证明lim(x,y)→(0,0)(1+xy)^(1/(x+y))的极限
不存在

Answer 1

楼上其实对了一半，可惜他题目看错了。。。

用到的有：∧表示指数，lim（1+n）∧（1/n）=e 其中n趋于0

沿y=x∧2 -x 可化为lim（1+x（x∧2-x））∧（1/x∧2）=e∧（x-1） x趋于0 结果为1/e ；
沿y=x 可化为lim （1+x∧2）∧（1/2x）=e∧（x/2） x趋于0 结果为1，所以趋于（0,0）不存在极限。

Answer 2

当沿曲线y＝－x+x^2趋于（0 0）时，极限为 lim (－x^2+x^3)/x^2=－1； 当沿直线y＝x趋于（0 0）时，极限为 lim x^2/2x=0。故极限不存在。

Answer 3

楼上的方法很不错，但可以更加简单点！令y=kx^2-x.按照楼上的解法最后可以化简为“e^(kx-1)/k”,x趋近于0时，结果为e^(-1)/k,结果与k的取值有关，所以不存在极限。

Answer 4

令y=-x+x^3，详情如图所示

有任何疑惑，欢迎追问

Answer 5

当沿曲线y＝－x+x^2趋于（0 0）时，极限为 lim (－x^2+x^3)/x^2=－1； 当沿直线y＝x趋于（00）时，极限为 lim x^2/2x=0。故极限不存在