Question

等腰三角形abc中ab=ac,d为ac的中点,bd=1,则三角形面积的最大值为

Answer 1

三角形ABC面积的最大值为2/3。

详细解法如下：
根据三角形的中线定理可知，对于三角形ABC，有AB^2+BC^2=2AD^2+2BD^2。
设AB=x，BC=y，已知AB=AC=2AD，则有x^2+y^2=2(x/2)^2+2=(x^2)/2+2，可得y^2=2-(x^2)/2，即x^2=4-2y^2。
对于等边三角形ABC来说，设BC边上的高=h，则有h^2=x^2-（y/2）^2
[S△（ABC）]^2=(yh/2)^2=(1/4)(y^2)[x^2-（y/2）^2]
=(1/4)(y^2)[4-2y^2-（y/2）^2]
=(1/4)(y^2)[4-(9/4)y^2]
=(9/16)(y^2)[16/9-y^2]
=-(9/16)[y^4-(16/9)y^2+64/81-64/81]
=-(9/16)[y^2-8/9]^2+4/9
≦4/9
因此，S△（ABC）≦2/3，即三角形ABC的最大面积为2/3。

此题考查对三角形的中线定理内容的理解：三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边的一半平方与该边中线平方的和的2倍。

Answer 2

S最大=√3/3。
证明：∵D为AC中点，
∴SΔABC=2SΔABD

=2AD*BDsin∠ADB
≤2AD*BD，
当且仅当sin∠ADB=1时取等号，
这时∠ADB=90°，
又sin∠ABD=AD/AB=1/2，
∴∠ABD=30°，AD=BD/√3=1/√3，
∴AB=2AD=2/√3，
又∠A=90°-∠ABD=60°，AB=AC，
∴ΔABC是等边三角形，
∴ SΔABC=√3/4*AB^2=√3/4×4/3=√3/3。

Answer 3

令△ABC中，AB＝AC＝x、BC＝y、BC上的高＝h。则：
由三角形中线长计算公式，有：
（1/2）√（2AB^2＋2BC^2－AC^2）＝BD＝1，∴√（2x^2＋2y^2－x^2）＝2，
∴x^2＋2y^2＝4，∴x^2＝4－2y^2。
显然有：
［S(△ABC)］^2
＝［（1/2）yh］^2
＝（1/4）y^2［x^2－（y/2）^2］
＝（1/4）y^2［（4－2y^2）－（1/4）y^2］
＝（1/4）y^2［4－（9/4）y^2］
＝（1/16）（16y^2－9y^4）
＝－（1/16）［（3y^2）^2－（16/3）（3y^2）＋（8/3）^2］＋（1/16）×（8/3）^2
＝（8/12）^2－（1/16）（3y^2－8/3）^2。
∴当3y^2＝8/3时，［S(△ABC)］^2有最大值＝（8/12）^2＝（2/3）^2，
∴S(△ABC)有最大值＝2/3。
∴△ABC面积的最大值为2/3。