Question

已知f（x）为定义在[-1，1]上的奇函数，当x∈[-1，0]时， 函数解析式是f(x)=1/4^

已知f（x）为定义在[-1，1]上的奇函数，当x∈[-1，0]时， 函数解析式是f(x)=1/4^x-a/2^x(a∈R)

(1)求f(x)在[0,1]上的最大值
(2)若f(x)是在[0,1]上的增函数，求实数a的取值范围

我的问题是，既然函数定义域包括零点，我为什么不能直接用f(0)=0来把a算出来呢？看这题的意思是根本就算不出a？求解答

Answer 1

（1）由奇函数的定义和性质可得，f（0）=0，即 1-a=0，a=1，
故当x∈[-1，0]时，函数解析式是 f(x)=
1
4 x
-
a
2 x
(a∈R) =
1
4 x
-
1
2 x
．
设x∈[0，1]，则-x∈[-1，0]，由题意可得 f（-x）=
1
4 -x
-
1
2 -x
=4 x -2 x =-f（x），
∴f（x）=2 x -4 x ．
综上可得，f（x）=

1
4 x
-
1
2 x
，-1≤x≤0

2 x - 4 x ， 0≤x≤1

．
（2）当x∈[0，1]时，设t=2 x ，则 1≤t≤2，f（x）=-4 x +2 x =-t 2 +t=- (t-
1
2
) 2 +
1
4
，
故当t=1时，f（x）取得最大值为 0，当t=2时，函数f（x）取得最小值为-2，
故此时函数的值域为[-2，0]．
再由奇函数的图象关于原点对称可得，可得当x∈[-1，0]时，函数的值域为[0，2]．
综上可得，函数在[-1，1]上的值域为[-2，2]．

追问

可是明显不能用饭（0）=0啊不然哪还有第二问…

追答

(1)
函数f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数,
那么f(-0）=-f(0),则f(0)=0
当x∈(0,1)时,f(x)=2^x
设x∈(-1,0),那么-x∈(0,1)
∴f(-x)=2^(-x)
∵f(x)是奇函数
∴f(x)=-f(-x)=-2^(-x)
∴f(x)的解析式为
{ 2^x ,x∈(0,1)
f(x) ={ 0 ,(x=0)
{-2^(-x),x∈(-1,0)
(2)
x∈(0,1)时,f(x)∈(1,2)
x=0时,f(0)=0
x∈(-1,0)时,f(x)=∈(-2,-1)
f(x)﹦﹤2a恒成立
f(x)max≤2a
∴2≤2a ,a≥1
∴常数a的取值范围是[1,+∞)

追问

亲…不能这么算呀不然我自己都会了…就是因为求不出a所以才有第二问呀…我就是在问为什么不能这么算然后您给我这么算…

Answer 2

不还意思，题目有些看不太懂，那个^什么意思

追问

就是次方的意思呀

（4的x次方，分之1），减去，（2的x次方，分之一）

噢2的x次方，分之a才对