Question

已知双曲线Cx2/a2-y2/b2=1,左右焦点F1F2,O为坐标原点,P是双曲线在第一象限的点，

已知双曲线Cx2/a2-y2/b2=1,左右焦点F1F2,O为坐标原点,P是双曲线在第一象限的点，直线PO,PF2分别交双曲线C左右两支于另一点M,N.若|PF1|=2|PF2|且∠MF2N=60°求双曲线C的离心率

Answer 1

根据双曲线的对称性，有O为PM的中心，连接MF2，这样四边形MF1PF2为平行四边形，再由∠MF2N=60°，且PF1=2PF2，而两个线段差为2a,所以PF1=4a，PF2=2a，∠F2PF1=∠MF2N=60°，所以由余弦定理有
F1F2^2=PF1^2+PF2^2-PF1Pf2,即4c^2=12a^2,e=根号3