Question

线性代数，求一个正交变换化二次型为标准型，并写出变换矩阵：f=3(x1)^2

+3(x2)^2+3(x3)^2+2(x1x2)+2(x1x3)+2(x2x3)
二次型方程是这个f=3(x1)^2+3(x2)^2+3(x3)^2+2(x1x2)+2(x1x3)+2(x2x3)
不知道咋粘贴过来串了

Answer 1

系数矩阵：

3    1    1    

1    3    1    

1    1    3    

先求特征值

将这3个特征向量，施密特正交化：

先正交化：

(-1,1,0)T → (-1,1,0)T

(-1,0,1)T → (-1,0,1)T - (-1,1,0)T/2 = (-1,-1,2)T/2

(1,1,1)T →  (1,1,1)T 

再单位化：

(-1,1,0)T → (-1,1,0)T/√2

 (-1,-1,2)T/2 →  (-1,-1,2)T/√6

(1,1,1)T →  (1,1,1)T/√3

则得到正交矩阵P=

-1/√2 -1/√6 1/√3

1/√2 -1/√6 1/√3

0 2/√6 1/√3

使得

P⁻¹AP=diag(2,2,5)