Question

高数题，不难，简单的微分方程，求详解

Answer 1

令p=y`，那么y``=dp/dx=(dp/dy)(dy/dx)=pdp/dy，代入原式得到：
p(dp/dy)+p²=p · exp(-2y)………………为便于书写，e的指数函数写成exp
(dp/dy)+p=exp(-2y)
显然这是一阶线性微分方程，直接套公式得到：
y`=p=C·exp(-y)-exp(-2y)………………C为任意常数
代入初始条件y(0)=0，y`(0)=-1，得到：
-1=C·exp(0)-exp(0)=C-1
解得C=0
所以dy/dx=y`=-exp(-2y)
分离变量得到：exp(2y)dy=-dx
积分得到：(1/2)exp(2y)=-x+D………………D为任意常数
代入初始条件y(0)=0，得到：
(1/2)exp(0)=0+D
所以D=1/2
综上得到解：
(1/2)exp(2y)=(1/2)-x
即exp(2y)=1-2x