Question

已知某厂商的生产函数为Q=0.5^1/3K^2/3，资本的价格r=10,劳动的价格w=5

已知某厂商的生产函数为Q=0.5^1/3K^2/3，资本的价格r=10,劳动的价格w=5
（1）求劳动的投入函数L=L(Q)
（2）当资本投入量K=50时，写出总成本函数，平均成本函数，边际成本函数
（3）当资本投入量K=50，且产品的价格P=100时，厂商获得最大利润是多少？此时的产量是多少？

Answer 1

如果是【已知某厂商的生产函数为Q=0.5*L^1/3*k^2/33，资本的价格r=10，劳动的价格w=5
（1）求劳动的投入函数L=L(Q)
（2）当资本投入量K=50时，写出总成本函数，平均成本函数，边际成本函数
（3）当资本投入量K=50，且产品的价格P=100时，厂商获得最大利润是多少？此时的产量是多少？】
那么：
1、生产最优化，要求要素边际技术替代率=要素价格比，即MPL/w=MPK/r
那么，MPL=对Q求L的偏导=0.5*1/3*（K/L）^(2/3)
MPK=对Q求K的偏导‍=0.5*2/3*（L/K)^(1/3)
所以，有（K/L）^(2/3)/5=2（K/L）^(-1/3)/10，即K=L
代入Q，可得Q=0.5L，所以L=L(Q)=2Q=K
2、总成本函数TC是成本与产量Q的函数，由此推出边际成本MC和平均成本AC
TC(Q)=rK+wL=10L+5L=15L=30Q=15K=750
所以，MC=AC=30
3、利润π=PQ-TC=100Q-30Q=70Q=35K=1750，最优产量Q=0.5K=25

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Answer 2

首先，你是不是在0.5后面打掉了L？
否则，你的生产函数看起来会很奇怪，因为它不需要劳动投入。
我不确定你题目的问题是不是真的这样，我只能假定你的生产函数是Q=0.5*L^1/3*k^2/3了，这样看起来是合乎C-D生产函数的形式的。
我会按你给出的题目，和我假定的题目先后给出两份答案，反正思路都是一样的。

答案一（按你提供的原题，没有L）：
1）L=0，因为没有劳动投入
2)只有一种要素，所以总成本全部由资本构成，总成本为rK=500，平均成本=r=10=边际成本
3）利润函数=总利润-总成本=PQ-TC=100Q-10K=xxx（常数），这就是最大值了，产量你把K值代回Q就知道了

答案二（按我假定的生产函数Q=0.5*L^1/3*k^2/3）
1）生产最优化，要求要素边际技术替代率=要素价格比，即MPL/w=MPK/r
那么，MPL=对Q求L的偏导=0.5*1/3*（K/L）^(2/3)
MPK=对Q求K的偏导‍=0.5*2/3*（L/K)^(1/3)
所以，有（K/L）^(2/3)/5=2（K/L）^(-1/3)/10，即K=L
代入Q，可得Q=0.5L,所以L=L(Q)=2Q=K
2)总成本函数TC是成本与产量Q的函数，由此推出边际成本MC和平均成本AC
TC(Q)=rK+wL=10L+5L=15L=30Q=15K=750
所以，MC=AC=30
3）利润π=PQ-TC=100Q-30Q=70Q=35K=1750，最优产量Q=0.5K=25

请给分，谢谢。