Question

二重积分的计算问题

问下为什么下面这两个题目对y的积分域不同？
1.求由平面x=0 y=0 x+y=1 所围成的柱体被平面z=0及抛物面x^2+y^2=6-z截得的立体的体积
2.计算由四个平面x=0 y=0 x=1 y=1所围成的柱体被平面z=0 2x+3y+z=6截得的立体的体积

利用二重积分计算体积,就是二重积分的几何意义,把立体看作是一个曲顶柱体,曲顶是一个曲面z＝f(x,y),底面是xy坐标面上的闭区域D,则体积V＝∫∫(D)f(x,y)dxdy.
图形不一定要画,主要是分析出曲顶和底面.
1、柱体的母线平行于z轴,所以柱体被平面z＝0和抛物面x^2+y^2=6-z截得的立体就是一个曲顶柱体,底面就是柱体的准线x=0,y=0,x+y=1围成的一个xy坐标面上的区域D,而曲顶就是抛物面z＝6-(x^2+y^2),所以体积
V＝∫∫(D) [6-(x^2+y^2)]dxdy＝∫(0→1)dx∫(0→1-x) [6-(x^2+y^2)]dy＝17/6
2、柱体的母线平行于z轴,所以柱体被平面z＝0和2x+3y+z＝6截得的立体就是一个曲顶柱体,底面就是柱体的准线x=0,y=0,x＝1,y＝1围成的一个xy坐标面上的区域D,而曲顶就是平面z＝6-2x-3y,所以体积
V＝∫∫(D) [6-2x-3y]dxdy＝∫(0→1)dx∫(0→1) [6-2x-3y]dy＝7/2

Answer 1

第1）题的底面积是三角形
第2）题的底面积是正方形
怎么可能一样？？
1）
xy平面内的直线：x=0,y=0,y=1- x 所围成一个三角形区域；
曲顶柱体下底面：xy平面； 上底面是：z=6- x² - y²
所以,体积：
V=∫∫D[6- x² - y²]dxdy=∫dx∫[6- x² - y²]dy
=∫dx[6y- x²y - 1/3y³]|
=∫[6(1-x) - x²(1-x) - 1/3(1-x)³]dx
=∫[17/3 - 5x - 2x²+ 4/3 x³ ]dx
=[17/3x - 5/2 x² - 2/3 x³ + 1/3 x^4]|
=17/3 - 5/2 - 2/3 + 1/3=16/3 - 5/2=17/6
2）
区域D由x=0,y=0,x=1,y=1围成。
体积V=∫∫(6-2x-3y)dxdy
＝∫(0到1)dx∫(0到1) (6-2x-3y)dy
＝∫(0到1) (6-2x-3/2) dx
＝7/2。

很高兴能回答您的提问，您不用添加任何财富，只要及时采纳就是对我们最好的回报
。若提问人还有任何不懂的地方可随时追问，我会尽量解答，祝您学业进步，谢谢。
☆⌒_⌒☆ 如果问题解决后，请点击下面的“选为满意答案”

追问

积分域不是看他的范围吗？第一个题的X，Y都是0到1，为什么Y的上线是1-x，不是1？

追答

画个图你就懂了

追问

我知道一个是三角形，一个是正方形，就是不清楚为什么三角形Y的上线是1-x

Answer 2

积分区域是圆，可以在极坐标系下化为二次积分：x=rcosθ，y=rsinθ
向左转|向右转