Question

如图三角形ABC中，AB等于AC，P在射线BD上，且角BPC等于角BAC

1 求证PA平分角DPC
2 若角BAC等于60°，求证PA+PB=PC

Answer 1

1. ∵角BPC等于角BAC，BPAC共圆，∠APC＝∠ABC＝∠ACB＝∠APD

PA平分角DPC

2.延长BP至Q,使PQ＝PA.易知⊿ABC,⊿APQ都是等边三角形。

⊿DBA≌⊿PCA（SAS）.PC＝DB＝DP+PB＝PA+PB

Answer 2

(1)因为角BPC=角BAC，所以A，P，B，C四点共圆，（同弧上的圆周角相等的逆定理）
所以角APC=角ABC，（同对弧AC）
角APD=角ACB（外角等于内对角）
因为AB=AC（已知）
又角ABC=角ACB（等边对等角）
所以角APD=角APC（等量代换）
所以PA平分角DPC（角平分线定义）
(2)延长PA,取AE=PB,连接CE.因为A,C,B,P四点共圆,所以∠EAC=∠PBC,又因为∠BAC=60°,AB=AC,所以△ABC为等边三角形,所以AC=BC,所以△ACE全等于△BCP,所以CE=PC,因为A,C,B,P四点共圆,所以∠APC=∠ABC=60°,所以△PCE为等边三角形,所以PE=PC,所以PA+PB=PC

Answer 3

①解：有两种方法：
方法一：有点啰嗦
辅助线：在BD的延长线上截取一点E，使BE=CP.连接AE.
∵∠BPC=∠BAC.
∴∠EBA=∠PCA.
∵在△EBA与△PCA中.
BE=CP,∠EBA=∠PCA,AB=AC.
∴△EBA≌△PCA（SAS）.
∴∠EAB=∠PAC,AE=AP.
∵∠EAP+∠PAB=∠PAB+∠BAC.
∴∠EAP=∠BAC=∠BPC.
∵∠EAP+∠AEP=∠APC+∠BPC.
∴∠AEP=∠APE=∠APC.
即AP平分∠DPC.
方法二：很简单，不过用了辅助圆
辅助线：辅助圆
∵∠BAC=∠BPC，而且四边形APBC.
∴四边形APBC可以内接在一个圆中.
∴辅助圆成立.
∵圆内接四边形APBC.
∴同弧圆周角相等.
∴∠APC=∠ABC.
∵AB=AC.
∴∠ABC=∠ACB.
∵∠APB+∠ACB=180°.
∴∠APE=∠ACB=∠ABC=∠APC.
∴PA是∠DPC的角平分线.
②解：找到一种方法
辅助线：在PC上截取PE=PB.连接BE.
∵∠BPC=∠BAC=60°.
∴等边△PBE.
∴∠PBE=60°=∠ABC.
∴∠PBC=∠EBC.
∵在△PBA与△EBC中
PB=BE,∠PBA=∠EBC,AB=BC.
∴△PBA≌△EBC（SAS）.
∴AP=CE.
∵PC=CE+PE.
∴PC=BP+AP.
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