Question

曲面积分ffxdydz+ ydxdz+ z^2dxdy曲面为z=（x^2+y^2）^（1/2）在

=2以下的部分取下侧高斯公式和分面投影算出来不一样

Answer 1

(1)， 记积分曲面之椭球面为∑， 在∑内添做一个小球面∑1：xx+yy+zz=aa，取内侧， 将在∑与∑1围成的空间区域D上用高斯公式。 原式=∫∫〔∑〕…+∫∫〔∑1〕…-∫∫〔∑1〕… =∫∫∫〔D〕0dv-∫∫〔∑1〕… =-∫∫〔∑1〕… =+∫∫〔∑1取外侧〕… =∫∫〔∑1外侧之上半球面〕zdxdy/aaa+∫∫〔∑1外侧之下半球面〕zdxdy/aaa① +∫∫〔∑1外侧之前半球面〕xdydz/aaa+∫∫〔∑1外侧之后半球面〕xdydz/aaa② +∫∫∫〔∑1外侧之右半球面〕ydxdz/aaa+∫∫〔∑1外侧之左半球面〕ydxdz/aaa③ 上式共3行①②③，以下计算其中的第一行①， 另两行②③的计算方法类似结果相同。 有①=2∫∫〔∑1外侧之上半球面〕zdxdy/aaa =2∫∫〔上述曲面在xoy面的投影域D1：xx+yy《aa上〕√aa-xx-yydxdy/aaa 用极坐标计算上述二重积分得到 =2∫〔0到2π〕dt∫〔0到a〕r*√aa-rrdr/aaa =2*2π*(1/3) =4π/3。 于是得到本题结果=4π。 (2)， 方法参看(1)，结果应为2π。核对一下。