Question

求微分方程第4题

Answer 1

　　解：∵dy/dx=2xy/(x^2-y^2)，属可分离变量型一阶微分方程，∴设y=ux，带入原方程，经整理有(1-u^2)du/(u+u^3)=dx/x，两边分别积分，
　　∴ln丨u丨-ln(1+u^2)=ln丨x丨+lnc1，∴u/(1+u^2)=c1x，∴其通解为y^2+x^2-cy=0，其中，c为任意常数。
　　供参考。

追问

In|u|-In|1+u^|这块怎么出来的

其他地方我都算就来了

追答

　　∵(1-u^2)/(u+u^3)=(1-u^2)/[u(1+u^2)]，设(1-u^2)/[u(1+u^2)]=a/u+(bu+c)/(1+u^2)，解得a=1，b=-2，c=0。
　　∴(1-u^2)du/(u+u^3)=[1/u-2u/(1+u^2)]du。
　　供参考。

追问

谢谢

Answer 2

4.求微分方程 dy/dx=2xy/(x²-y²)的通解
解：dy/dx=(2y/x)/[1-(y/x)²]...........(1)
令y/x=u，即y=ux;
代入(1)式得：

u+x(du/dx)=2u/(1-u²)
x(du/dx)=(u+u³)/(1-u²)
分离变量得 [(1-u²)/(u+u³)]du=dx/x
取积分 ∫[(1-u²)/(u+u³)]du=∫dx/x
∫[1/u-2u/(1+u²)]du=lnx+lnc=lncx
lnu-ln(1+u²)=lncx
即ln[u/(1+u²)]=lncx
故u/(1+u²)=cx,将u=y/x代入得：
(y/x)/[1+(y/x)²]=xy/(x²+y²)=cx
故得隐性通解为：y/(x²+y²)=c