求微分方程第4题
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解:∵dy/dx=2xy/(x^2-y^2),属可分离变量型一阶微分方程,∴设y=ux,带入原方程,经整理有(1-u^2)du/(u+u^3)=dx/x,两边分别积分,
∴ln丨u丨-ln(1+u^2)=ln丨x丨+lnc1,∴u/(1+u^2)=c1x,∴其通解为y^2+x^2-cy=0,其中,c为任意常数。
供参考。
∴ln丨u丨-ln(1+u^2)=ln丨x丨+lnc1,∴u/(1+u^2)=c1x,∴其通解为y^2+x^2-cy=0,其中,c为任意常数。
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In|u|-In|1+u^|这块怎么出来的
其他地方我都算就来了
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4.求微分方程 dy/dx=2xy/(x²-y²)的通解
解:dy/dx=(2y/x)/[1-(y/x)²]...........(1)
令y/x=u,即y=ux;
代入(1)式得:
u+x(du/dx)=2u/(1-u²)
x(du/dx)=(u+u³)/(1-u²)
分离变量得 [(1-u²)/(u+u³)]du=dx/x
取积分 ∫[(1-u²)/(u+u³)]du=∫dx/x
∫[1/u-2u/(1+u²)]du=lnx+lnc=lncx
lnu-ln(1+u²)=lncx
即ln[u/(1+u²)]=lncx
故u/(1+u²)=cx,将u=y/x代入得:
(y/x)/[1+(y/x)²]=xy/(x²+y²)=cx
故得隐性通解为:y/(x²+y²)=c
解:dy/dx=(2y/x)/[1-(y/x)²]...........(1)
令y/x=u,即y=ux;
代入(1)式得:
u+x(du/dx)=2u/(1-u²)
x(du/dx)=(u+u³)/(1-u²)
分离变量得 [(1-u²)/(u+u³)]du=dx/x
取积分 ∫[(1-u²)/(u+u³)]du=∫dx/x
∫[1/u-2u/(1+u²)]du=lnx+lnc=lncx
lnu-ln(1+u²)=lncx
即ln[u/(1+u²)]=lncx
故u/(1+u²)=cx,将u=y/x代入得:
(y/x)/[1+(y/x)²]=xy/(x²+y²)=cx
故得隐性通解为:y/(x²+y²)=c
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