Question

有关矩阵相似的问题，为什么已知A~B，可知|A+2E|=|B+2E|？r(A-E)=r(B-E)？

有关矩阵相似的问题，为什么已知A~B，可知|A+2E|=|B+2E|？r(A-E)=r(B-E)？？？A和B相似的必要条件中没有这些啊？

Answer 1

是的，为了打字方便，用 P' 代表 P 的逆矩阵。
A 相似于 B，则存在可逆矩阵 P，使得：A = PBP'
|A + 2E| = |PBP' + 2E| = |PBP' + 2PP'| = |P (B + 2E) P'|
= |P| * |B + 2E| * |P'| = |B + 2E|
其中，最后1个等号是因为：|P| 与 |P'| 互为倒数。

同理：A - E = PBP' - E = P (B - E) P'
由于 P 和 P' 都是可逆矩阵，所以：r(A - E) = r(B - E)