Question

已知x,y,z是实数，且x+2y-3z=1，求x2+y2+z2的最小值

已知x,y,z是实数，且x+2y-3z=1，求x2+y2+z2的最小值。

Answer 1

方程x+2y-3z=1表示三维空间直角坐标系中的平面，将其写成截距式x/1+y/(1/2)+z/(-1/3)=1得其在x,y,z轴上的截距分别为1，1/2，-1/3.
设此平面与x,y,z轴分别相交于A,B,C点。x^2+y^2+z^2表示平面x+2y-3z=1上点（x,y,z)于原点O(0,0,0)的距离的平方，其最小值为原点O到平面x+2y-3z=1距离（垂线段OP长)的平方
利用体积转换得，V-OABC=V-AOBC，即op*S三角形ABC=OA*OB*OC，op=1/根号14，op平方=1/14
x2+y2+z2的最小值为1/14

Answer 2

x+2y-3z=1
x=1-2y+3z

x2+y2+z2=(1-2y+3z)^2+y^2+z^2
=5y^2-4y+10z^2+6z-12yz+1
=(y-2)^2+(2y-3z)^2+(z+3)^2-12>=-12