Question

计算下列各极限：lim(1+2+3+…+n)/（n+3)(n+4) <n→无穷>

还有一个lim[1/（1*2）+1/（2*3）+…+1/n（n+1）]大家都来看看，可以追加分

Answer 1

对于lim(1+2+...+n)/[(n+3)(n+4)]
其中分母部分可以利用等差数列的求和公式写为：
1+2+……+n=[n*(1+n)]/2=(n^2+n)/2;
所以：lim(1+2+……+n)/[(n+3)(n+4)]
=lim[(n^2+n)/2]/(n^2+7*n+12)
=1/2(n→∞)
对于第二个题目，主要用到一个叫做“拆项”的数学技巧。
1/[n(n+1)]=(1/n)-(1/(n+1));
所以：1/(1*2)+1/(2*3)+……+1/(n*(n+1))
=1-(1/2)+(1/2)-(1/3)+……+(1/n)-(1/(n+1))
=1-(1/(n+1))
所以：lim[1/(1*2)+1/(2*3)+……+1/(n*(n+1))]
=lim[1-(1/(n+1))](n→∞)
=1
解答完毕。(*^__^*) ……

Answer 2

原式=lim n(n+1)/2(n+3)(n+4)=1/2分子分母同除n^2即得

Answer 3

1/n（n+1）=（1/n）-1/（n+1）都可以这样拆开！