Question

求助第六题

Answer 1

Answer 2

I=∫ 〔x-√(1-x²)〕dx=x²/2-∫ √(1-x²)dx
设x=sint， dx=cos t dt，
I=x²/2-∫ cos²t dt=
=x²/2-(1/2)*∫ (1+cos2t)dt=
=x²-t/2-(1/4)sin2t+C=
=x²/2-arcsinx/2-(1/8)x√(1-x²)+C

Answer 3

令x=sint
I=∫cost/(sint+cost) dt
=∫ cosx/(sinx+cosx) dx
令x+u=π/2
I=-∫sinu/(sinu+cosu)du
2I=∫(cosx-sinx)/(sinx+cosx)dx
=∫cos(x+π/4)/sin(x+π/4)d(x+π/4)
=∫cotxdx
=ln|sinx|+C
I=1/2ln|sinx|+C

追问

从这里到这里没看懂

追答

I=∫ cosx/(sinx+cosx) dx
令x+u=π/2，则cosx=cos(π/2-u)=sinu,
sinx=sin(π/2-u)=cosu
I=∫ sinu/(sinu+cosu) (-du)
=-∫sinu/(sinu+cosu)du=-∫sinx/(sinx+cosx)dx
因为I=∫ cosx/(sinx+cosx) dx且I=-∫sinx/(sinx+cosx)dx
2I=∫(cosx-sinx)/(sinx+cosx)dx
其中cosx-sinx=√2cos(x+π/4)

sinx+cosx=√2sin(x+π/4)
所以2I=∫√2cos(x+π/4)/√2sin(x+π/4)dx
约掉√2
另：老师跟我们说，一般遇到1-x^2这样的，最好设x=sint而不要设x=cost