Question

圆x^2+y^2-4x+4y+6=0截直线x-y-5=0所得的弦长是

a.根号6
b.2分之5被根号2
c。1
d。5
加上解题步骤

Answer 1

先说明一下，解题中出现的sqrt表示根号，比如sqrt(2)就是(根号2)的意思

解法一：（解析法，套公式）
设直线与圆的两个交点是(x1,y1),(x2,y2)
直线的斜率是k
则圆被直线所截弦长为sqrt(1+k^2)·|x1-x2|
将直线方程(y=x-5)代入圆方程得
x^2+(x-5)^2-4x+4(x-5)+6=0
化简得2x^2-10x+11=0
由韦达定理：
x1+x2=5
x1x2=11/2
|x1-x2|=sqrt[(x1+x2)^2-4x1x2]=sqrt(3)
代入弦长公式
弦长=sqrt(1+1^2)·|x1-x2|=sqrt(6)
所以选A

解法二：（图形法，解三角形）
思路是以圆心为顶点，与弦构成一个等腰三角形，
两条腰的长度都等于半径，等腰三角形的高是圆心到弦的距离
由此求出等腰三角形的底边长度，即所求弦长

先圆方程化成标准型：(x-2)^2+(y+2)^2=2
所以圆心在(2,-2)，半径是sqrt(2)
圆心到直线x-y-5=0的距离是：d=[2-(-2)-5]/根号2=-根号2/2
由勾股定理，半弦长^2=半径^2-d^2=2-1/2=3/2
所以半弦长=sqrt(6)/2，即弦长=sqrt(6)
与解法一所得结果一致

Answer 2

选A 直线y=x-5 k=1联立圆方程得2x^2-10x+11=0

韦达定理有x1+x2=5 x1x2=11/2

弦长=跟号(1+k^2)*根号[(x1+x2)^2-4x1x2]=根号6