Question

a/sinx+b/cosx的最小值，0°<x<90°

Answer 1

f(x)=a/sinx+b/cosx
f'(x)=(bsinx/cos^2x)-(acosx/sin^2x)=0
bsinx/cos^2x=acosx/sin^2x
acos^3x-bsin^3x=0
(³√a*cosx-³√b*sinx)[(³√a*cosx)^2+³√(ab)*sinxcosx+(³√b*sinx)^2]=0
因为0<x<π/2，所以(³√a*cosx)^2+³√(ab)*sinxcosx+(³√b*sinx)^2恒大于0
所以tanx=³√(a/b)
sinx=³√a/√[³√(a^2)+³√(b^2)]，cosx=³√b/√[³√(a^2)+³√(b^2)]
所以f(x)的最小值为√[³√(a^2)+³√(b^2)]*(a/³√a+b/³√b)
=[³√(a^2)+³√(b^2)]^(3/2)