Question

y=sinx^2为什么不是周期函数

Answer 1

如果函数y=f(x)是周期为T≠0的函数，那么f(x+T)=f(x);
函数f(x)=sinx²不存在那样的T≠0，能使得sin(x+T)²=sin(x²+2Tx+T²)=sinx².
故y=sinx²不是周期函数。

Answer 2

假设f(x)是周期函数
不妨设f(x)的最小正周期为t(t>0),则对于任意的x都满足f(x+t)=f(x),
即(x+t)sin(x+t)=xsinx①
令x=0,
则tsint=0,
∴sint=0,
t=kπ(k∈z)
代入①得
(x+kπ)sin(x+kπ)=xsinx
∴(x+kπ)(-sinx)=xsinx
对任意x都成立
∴x+kπ=-x,
x=-kπ/2对任意x都成立
矛盾,假设不成立,
即f(x)不是周期函数

Answer 3

假设y=f(x)=sinx²是周期函数，周期为T，则有
f(x+T)=sin(x+T)²=f(x)=sinx²,对于x∈R的任意值均成立
令x=0
sinT²=sin0=0
∴T²=kπ
k≠0
T=√kπ
f(x+√kπ)=sin(x²+2√kπ·x+kπ)=±sin(x²+2√kπ·x),显然不恒等于sin(x²)，与假设矛盾。
∴y=sinx²不是周期函数

Answer 4

令sinx=t，t∈【-1,1】
y=t²，尽管t=sinx是周期函数，因为y=t²非周期函数，所以复合函数y=（sinx）²非周期函数