Question

求积分∮|z|=r 1/z²(z+1)(z-1)dz其中r不等于1，跪谢!

Answer 1

由于r>1,圆内有两个奇点±i,且均为二级极点,下面可以用“复合闭路+高阶导数公式”或“留数定理”均可.
我用前一个方法
以±i为圆心,充分小的ε为半径作两个圆C1与C2,使两小圆不相交,且含于大圆内,不与大圆相交,
这样在C1与C2内就都是只有一个奇点了,由复合闭路定理,C上的积分等于C1与C2上积分之和.
∫c (e^z)/(z²+1)²dz
=∫c1 (e^z)/(z²+1)²dz+∫c2 (e^z)/(z²+1)²dz
=∫c1 [(e^z)/(z-i)²]/(z+i)²dz+∫c2 [(e^z)/(z+i)²]/(z-i)²dz
由高阶导数定理
=2πi[(e^z)/(z-i)²]'+2πi[(e^z)/(z+i)²]' 求完导后,前一式z=-i,后一式z=i代入
=2πi*[e^z(z-i)-2e^z]/(z-i)³+2πi*[e^z(z+i)-2e^z]/(z+i)³ 前一式z=-i,后一式z=i代入
=-2π*e^(-i)(1+i)-2π*e^i*(1+i)
=-2π(1+i)(e^(-i)+e^i)
=-4π(1+i)cos1