Question

求解答过程.

Answer 1

(1)
设f(x)=x-asinx-b
显然该函数在R上是连续并且可导的。
我们取区间[0，a+b]
f(0)=0-asin0-b=-b
因为b＞0，所以-b＜0，f(0)＜0
f(a+b)=a+b-asin(a+b)-b=a-asin(a+b)=a[1-sin(a+b)]
我们知道sin的取值范围是[-1，1]
所以f(a+b)＞0
所以根据零点定理，f(x)在(0，a+b)上必定至少有一个根，而且因为是＞0的，所以是正根，命题得证。
(2)
设g(x)=f(x)-x
因为f(x)在[a,b]上连续，显然g(x)也在[a,b]上连续。
g(a)=f(a)-a＜0
g(b)=f(b)-b＞0
根据零点定理g(x)在(a,b)上必定至少有一个根ξ，使得g(ξ)=0
g(ξ)=f(ξ)-ξ=0
f(ξ)=ξ