Question

数学题目！急急急！！！

1.若直线I与平面a所成角为60度，则直线I与平面a内所成直线所成角的范围是________.

2.在正方体AC1中，E、F分别是AA1与CC1的中点，则直线ED与D1F所成角的大小是__________.

3.空间四条线首尾相接得一个四边形，则相邻两边互相垂直是这个四边形为矩形的_______条件

Answer 1

1.请楼主记住一个结论：直线与平面的夹角为α，那么，直线与平面内所有直线所成角的最小值就是α，最大值永远是90°，因此，范围是[α，90°]！
这个结论很直观，不需严格证明
具体到此题，可知：l与面a的所成角是60°，那么，它与面a 内所有直线所成角的范围就是[60°，90°]

2.连接B1F，易证B1F‖DE，∴DE与D1F所成角即为∠B1FD1
（具体如何证明B1F‖DE，可取BB1中点G，易在平面B1C1CB中，证明出CG‖B1F，且易证明EG‖CD，EG=CD，∴EDCG是平行四边形，∴DE‖CG，由此得到B1F‖DE）

连接B1D1，设正方体边长为1，易在△B1D1F中，求得三边分别是：B1D1=√2,
D1F=B1F=√5/2，∴△B1D1F为等腰三角形，要求的∠B1FD1是其顶角，易得：
可根据已知的三边长度由余弦定理求出cos∠B1FD1=1/5(也可先求出顶角一半的正切值为√6/3,再根据万能公式求出余弦值)，于是∠B1FD1=arccos(1/5)

3.首先，如果四边形为矩形，那么，其各个邻边必相互垂直，故必要性成立；

再证充分性：用反证法：假设相邻两边相互垂直却不能够推出此四边形为矩形，那么，此四边形必是空间四边形，四个顶点不共面，设此四边形为ABCD，则直线AB，CD为异面直线，由于AC⊥AB，AC⊥CD，故AC为AB与CD的公垂线段；同理，BD也可得出结论是AB与CD的公垂线段，由“异面直线的公垂线唯一”这个公理，判断出假设不成立，故，相邻两边相互垂直的四边形必为矩形！充分性成立
故，横线上应填“充要”