Question

谁能告诉我这道微分方程接下来怎么解啊？？十分感谢

Answer 1

求微分方程 y''+2y'=-2x+1的通解
解：先求齐次方程 y''+2y'=0的通解。
齐次方程的特征方程 r²+2r=r(r+2)=0的根：r₁=0; r₂=-2；
因此齐次方程的通解为：y=C₁+C₂e^(-2x).
下面再求一个特解，设其特解为 y*=ax²+bx
【注意要比原方程右边的多项式的最高次数高一次。因为原方程左边没有
含y的项，因此只设y*=ax²+bx就够了；如果原方程左边有含y的项，则要
设y*=ax²+bx+c.】
y*'=2ax+b；y*''=2a；代入原方程得：
2a+2(2ax+b)=4ax+2(a+b)=-2x+1
故4a=-2，即a=-1/2；2(a+b)=2(-1/2+b)=-1+2b=1，故b=1.
于是得特解 y*=-(1/2)x²+x;
故原方程的通解为：y=C₁+C₂e^(-2x)-(1/2)x²+x;

追问

那如果是类似 xe∧x 就不用高一次了吧？