Question

求教一道高数题

求教一道高数题第七

Answer 1

对任意x∈(0,2)，根据拉格朗日中值定理，有：
f(x)=f(x)-f(0)=(x-0)*f'(m)=x*f'(m)，其中0<m<x
f(x)=f(x)-f(2)=(x-2)*f'(n)，其中x<n<2
|f(x)|=x*|f'(m)|=(2-x)*|f'(n)|
因为f(x)在[0,2]上连续可导，所以导函数f'(x)在[0,2]上有界
即存在|f'(x)|的上确界A=sup|f'(x)|和下确界B=inf|f'(x)|
也就是说，对任意x∈(0,2)，有B<=|f'(x)|<=A
x*B<=|f(x)|<=x*A，(2-x)*B<=|f(x)|<=(2-x)*A
∫(0,2)|f(x)|dx=∫(0,1)|f(x)|dx+∫(1,2)|f(x)|dx
<=∫(0,1)x*Adx+∫(1,2)(2-x)*Adx
=A/2+A/2
=A
∫(0,2)|f(x)|dx=∫(0,1)|f(x)|dx+∫(1,2)|f(x)|dx
>=∫(0,1)x*Bdx+∫(1,2)(2-x)*Bdx
=B/2+B/2
=B
即，inf|f'(x)|<=∫(0,2)|f(x)|dx<=sup|f'(x)|
根据连续函数介值定理，存在ξ∈[0,2]，使得：|f'(ξ)|=∫(0,2)|f(x)|dx

追问

后面很多都没交啊

有没有简单的方法

追答

都学微积分了，肯定已经学了上、下确界了吧