Question

分段函数求导问题

Answer 1

lim(x->0-)f(x)=lim(x->0-)(2/x^2)*(1-cosx)=lim(x->0-)(2/x^2)*(x^2/2)=1=f(0)
lim(x->0+)f(x)=lim(x->0+)(1/x)*∫(0,x)cost^2dt=lim(x->0+)cosx^2=1=f(0)
所以f(x)在x=0点处连续
f'(0-)=lim(x->0-)[f(x)-f(0)]/x
=lim(x->0-)[(2/x^2)*(1-cosx)-1]/x
=lim(x->0-)(2-2cosx-x^2)/x^3
=lim(x->0-)(2sinx-2x)/3x^2
=lim(x->0-)(cosx-1)/3x
=lim(x->0-)(-x/6)
=0
f'(0+)=lim(x->0+)[f(x)-f(0)]/x
=lim(x->0+)[(1/x)*∫(0,x)cost^2dt-1]/x
=lim(x->0+)[∫(0,x)cost^2dt-x]/x^2
=lim(x->0+)(cosx^2-1)/2x
=lim(x->0+)(-x^3)/4
=0
因为f'(0-)=f'(0+)，所以f(x)在x=0点处可导