Question

高数空间几何，三条直线直线交于一点的条件是？？图中的题又怎么做？？谢谢

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Answer 1

假设CF与BE交于G点

现在需要证明的是：G点位于AD上：

根据梅氏定理：(CE/EA)(AB/BF)(FG/GC)=1

即：1*2(FG/GC)=1

即：FG/GC=1/2

故：CG=2CF/3

CF=(CA+CB)/2

故：CG=(CA+CB)/3

故：GD=CD-CG=CB/2-CG

=CB/2-(CA+CB)/3

=-CA/3+CB/6

=(-1/6)(2CA-CB)

AG=CG-CA=(CA+CB)/3-CA

=-2CA/3+CB/3

=(-1/3)(2CA-CB)

即：AG=2GD

即：AG、GD共线

即：A、G、D三点共线

即原结论得证

三角形的垂心定理：在三角形ABC中,求证：它的三条高交于一点。

证明：如图：作BE⊥AC于点E,CF⊥AB于点F,且BE交CF于点H,连接AH并延长交BC于点D.现在我们只要证明AD⊥BC即可。

因为CF⊥AB,BE所以 四边形BFEC为圆内接四边形.四边形AFHE为圆内接四边形。

以∠FAH=∠FEH=∠FEB=∠FCB由∠FAH=∠FCB得四边形AFDC为圆内接四边形所以∠AFC=∠ADC=90°即AD⊥BC。

Answer 2

三条直线交于一点的充要条件是由三个直线方程组成的方程组有唯一解
即
ax+2by=-3c
bx+2cy=-3a
cx+2ay=-3b
有唯一解
则其充要条件为
r(A)=r(A,b)=n=2
故增广矩阵的行列式|A,b|=0, 即
|a 2b -3c|
|b 2c -3a| = 0
|c 2a -3b|
=> 6(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-ac-bc)=0
=> 3(a+b+c)[(a-b)²+(a-c)²+(b-c)²]=0
∵三条直线不共线
∴(a-b)²+(a-c)²+(b-c)²≠0
∴a+b+c=0

追问

为什么秩为2？。。

追答

线性方程组有唯一解的充要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩且等于未知量个数
即r(A)=r(A,b)=n
此题中未知量个数为2，即x和y

追问

谢谢

Answer 3

简单分析一下，详情如图所示

Answer 4

两条直线交于一点，这个点在第三条直线上