Question

数学分析，第4.1.8题，求严谨的证明过程。

Answer 1

先证明一个结论，
∫[m-h/2~m+h/2]f(x)dx-h·f(m)
=h³/24·f''(η)
【其中，η∈(m-h/2，m+h/2)】

【证明】
设F(h)=∫[m-h/2~m+h/2]f(x)dx-h·f(m)
显然，F(0)=0
F'(h)=1/2[f(m+h/2)+f(m-h/2)]-f(m)
∴F'(0)=0
F''(h)=1/4[f'(m+h/2)-f'(m-h/2)]
∴F''(0)=0
F'''(h)=1/8[f''(m+h/2)+f''(m-h/2)]

根据泰勒中值定理，
F(h)=F(0)+F'(0)h+F''(0)/2·h²+F'''(ξ)/6·h³
=F'''(ξ)/6·h³
=[f''(m+ξ/2)+f''(m-ξ/2)]/48·h³
【其中，ξ∈(0，h)】
=f''(η)/24·h³
【其中，η∈[m-ξ/2，m+ξ/2]
当然，η∈(m-h/2，m+h/2)】

下面来证明你的问题：
根据上面已经证明的结论，
设h=(b-a)/n，
取m=a+(2i-1)h/2
∫[a+(i-1)h~a+ih]f(x)dx-h·f[a+(2i-1)h/2]
=f''(ηi)/24·h³

从i=1~n求和，得到
∫[a~b]f(x)dx-h·∑f[a+(2i-1)h/2]
=∑f''(ηi)/24·h³
=h²/24·∑f''(ηi)·h

两边同时取极限，得到
左边=h²/24·lim(n→∞)∑f''(ηi)·h
=h²/24·∫[a~b]f''(x)dx
【这里应用定积分的定义】
=h²/24·[f'(b)-f'(a)]

追答

最后部分修正一下：

两边同时乘以n²
然后取极限，得到
左边=(b-a)²/24·lim(n→∞)∑f''(ηi)·h
=(b-a)²/24·∫[a~b]f''(x)dx
【这里应用定积分的定义】
=h²/24·[f'(b)-f'(a)]

两边同时乘以n²
然后取极限，得到
左边=(b-a)²/24·lim(n→∞)∑f''(ηi)·h
=(b-a)²/24·∫[a~b]f''(x)dx
【这里应用定积分的定义】
=(b-a)²/24·[f'(b)-f'(a)]