Question

怎样用二重积分求椭球体体积

Answer 1

三重积分也可以求体积,不过三重积分可以求不是曲面柱体的体积,另外三重积分还可以求立体的质量,在物理上课本中的应用有质心、转动惯量以及引力。

建议仔细将第六章以及第九章的最后一节在深入研究一下,通过对积分的应用的了解可以更加深入地理解以黎曼积分为础所建立的积分体系。

二重积分意义

当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积。

当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积负值。 

几何意义

在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。

表示的是以上半球面为顶，半径为a的圆为底面的一个曲顶柱体，这个二重积分即为半球体的体积。

数值意义

二重积分和定积分一样不是函数，而是一个数值。因此若一个连续函数f（x，y）内含有二重积分，对它进行二次积分，这个二重积分的具体数值便可以求解出来。

其中二重积分是一个常数，不妨设它为A。对等式两端对D这个积分区域作二重定积分。

故这个函数的具体表达式为：f（x，y）=xy+1/8，等式的右边就是二重积分数值为A，而等式最左边根据性质5，可化为常数A乘上积分区域的面积1/3，将含有二重积分的等式可化为未知数A来求解。

以上内容参考：百度百科-二重积分

Answer 2

代入二重积分求曲顶柱体体积的基本公式即可

Answer 3

^在角度t处一条射线上的点，坐标为rcost, r sint，在椭圆上的点满足(Rcost)^2/a^2 + (Rsint)^2/b^2=1
也就是R^2[(cost)^2/a^2 +(sint)^2/b^2]=1
R^2 = a^2b^2/((bcost)^2 +(asint)^2]
R=ab/根号((bcost)^2 +(asint)^2]
求面积时，内部积分从0积分到椭圆上，上面式子求出来的这个R就是内部积分的上限，你的积分上限错误