Question

根据整式的乘法和分解因式之间的区别和联系

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八上·第十五章 “整式的乘除与因式分解”简介 课程教材研究所 左怀玲 俞求是 人教版《义务教育课程标准实验教科书?数学》第十五章是“整式的乘除与因式分解”.本章的主要内容是整式的乘除运算、乘法公式以及因式分解.本章内容建立在已经学习了的有理数运算、列简单的代数式、一次方程及不等式、整式的加减运算等知识的基础上.整式的乘除运算和因式分解是基本而重要的代数初步知识,这些知识是以后学习分式和根式运算、函数等知识的基础,在后续的数学学习中具有重要意义,同时,这些知识也是学习物理、化学等学科及其他科学技术不可缺少的数学基础知识. 本章共安排了4个小节,教学时间约需13课时（供参考）： 15.1 整式的乘法 4课时 15.2 乘法公式 2课时 15.3 整式的除法 2课时 15.4 因式分解 3课时 数学活动 小结2课时 一、教科书内容和课程学习目标 （一）本章知识结构框图 （二）教科书内容 本章共包括4节 15.1 整式的乘法 整式的乘法是整式四则运算的重要组成部分.本节分为四个小节,主要内容是整式的乘法,这些内容是在学生掌握了有理数运算、整式加减运算等知识的基础上学习的.其中,幂的运算性质,即同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方是整式乘法的基础,教科书把它们依次安排在前三个小节中,教学中应适当复习幂、指数、底数等概念,特别要弄清正整数指数幂的意义. 在学生掌握了幂的运算性质后,作为它们的一个直接应用,教科书在第四小节安排一般整式乘法的教学内容.首先是单项式与单项式相乘,由于进行单项式与多项式、多项式与多项式相乘的前提是熟练地进行单项式与单项式相乘,因此,对于单项式与单项式相乘的教学应该予以充分重视.在学生掌握了单项式与单项式相乘的基础上,教科书利用分配律等进一步引入单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘,这样使整式乘法运算的教学从简到繁,由易到难,层层递进. 15.2 乘法公式 本节分为两个小节,分别介绍平方差公式与完全平方公式. 乘法公式是整式乘法的特殊情形,是在学习了一般的整式乘法知识的基础上学习的,运用乘法公式能简化一些特定类型的整式相乘的运算问题,教科书在本节开始首先指出了这一点.接着,在第一小节安排了平方差公式的教学,教科书首先安排了下一个“探究”栏目,安排了3个题目,让学生通过计算,总结三个题目结果的共同点,发现其中的规律.接着,教科书推证了平方差公式,并进一步借助于几何图形对公式作了直观解释,让学生能更好地理解此公式.最后,举例说明运用平方差公式进行有关的计算.第二小节教科书设计了与第一小节类似的教学过程,引进了乘法的完全平方公式. 为了满足整式运算的需要,在本小节引进了添括号法则,这也是很重要的整式运算知识. 15.3 整式的除法 整式的除法也是整式四则运算的重要组成部分.本节也分为两个小节.同底数幂的除法是学习整式除法的基础和关键,因此教科书在第一小节中首先介绍同底数幂除法的性质.对于同底数幂除法,这里只先讨论所得商仍是整式的情形,对于所得商是分式的情形将在后续内容引入负整数指数幂的概念以后再讨论. 能熟练地进行单项式除以单项式的除法是进行多项式除以单项式等一般的整式除法的前提.在第二小节,教科书根据乘、除互为逆运算的关系,并以分配律、同底数幂的除法为依据,由计算具体的实例得到单项式除以单项式的除法法则.同样地,对于单项式除以单项式的除法,讨论的问题也都在被除式中字母的指数大于或等于除式中字母的指数的限制条件范围内. 对于多项式除以单项式,教科书是从计算 来导出运算法则的,根据是乘除法互为逆运算以及分配律.可以看出,法则的基本点是把多项式除以单项式转化为单项式的除法,而单项式除法是已经学习并掌握了的. 在本章中,不讨论多项式除以多项式等一般性的问题. 15.4 因式分解 因式分解是解析式的一种恒等变形,因式分解不但在解方程等问题中极其重要,在数学科学其他问题和一般科学研究中也具有广泛应用,是重要的数学基础知识.因式分解的方法一般包括提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法、待定系数法等.本教科书安排了多项式因式分解比较基本的知识和方法,它包括因式分解的有关概念,整式乘法与因式分解的区别与联系,因式分解的两种基本方法,即提公因式法和公式法.两种方法分别安排在第1和第2小节. （三）课程学习目标 通过本章教学要求达到以下的教学目标： 1. 使学生掌握正整数幂的乘、除运算性质,能用代数式和文字语言正确地表述这些性质,并能运用它们熟练地进行运算.使学生掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则,并运用它们进行运算. 2. 使学生会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式）,了解公式的几何意义,能利用公式进行乘法运算. 3. 使学生掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算,并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算. 4.使学生理解因式分解的意义,并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算,掌握提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法,了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解. 二、本章编写特点 （一）强调重要数学思想方法的渗透 根据数与式之间的联系,教材通过类比的思想方法,由数的运算引出式的运算规律,体现了数学知识间具体与抽象的内在联系和数学的内在统一性. 对于整式乘法法则的教学,教科书注意渗透“转化”的思想方法.例如,多项式与多项式相乘的法则,第一步是转化为多项式与单项式相乘,第二步则是转化为单项式与单项式相乘,而单项式与单项式相乘则转化为有理数的乘法与同底数幂的乘法. 在整式除法的教学中教科书也注意渗透“转化”的思想方法,多项式与单项式相除第一步是转化为单项式与单项式相除,第二步是转化为有理数的除法与同底数幂的除法. 由上可知,整式的乘、除法教学要循序渐进,打好各项知识的基础,并运用好转化的思想方法,就能够很好地完成后面的教学内容,取得较好的教学效果. 此外,本章教材注意了代数与几何之间的联系,体现了数形结合的重要数学思想和方法,如在整式乘法和乘法公式部分,借助于几何图形对运算法则及公式作了直观解释,体现了代数与几何之间的内在联系和统一,能让学生更好地理解有关知识. （二）充分体现从具体到抽象再到具体的认知过程 从具体的实际问题出发,归纳出相关的数学概念,或抽象出隐含在具体问题中的数学思想和规律,这是本章的一个突出特点.密切联系实际,体现知识的形成和应用过程,这是本章编写中很重视的一个问题. 以第15.1节为例,无论同底数幂相乘、幂的乘方还是积的乘方,都是从具体、简单题目的运算出发,最后归纳出运算性质,然后再用归纳得出的结果进一步指导比较复杂的实际问题.而整式的乘、除法也是从具体的问题出发,归纳出运算法则,再进一步用于解决实际问题.这种从具体到抽象,再由抽象到具体的编排方式,可以循序渐进地向学生呈现教学内容,有助于学生的理解和掌握,符合现阶段学生的认知水平. （三）根据数学知识的逻辑关系循序渐进安排教学内容 本章所涉及的数学教学内容之间不仅具有密切的联系,且具有很强的逻辑关系.整式的乘法与除法是互为逆运算,乘法公式是具有特殊形式的整式乘法问题,整式的乘法与因式分解是方向相反的恒等变形,在涉及的这些内容中,整式的乘法是引入后续内容教学的基础,学好一般整式乘法的知识是进一步学习本章其他知识的前提.本章根据知识之间的这种逻辑关系,把教学重点放在整式乘法的教学上,符合逻辑、循序渐进地安排了单项式与单项式相乘、多项式与单项式相乘、多项式与多项式相乘、乘法公式的教学内容.再如,根据数与式之间的联系,教科书通过类比的思想方法,由数的运算引出式的运算规律；引入乘法公式时,指出研究的是某些特殊形式的多项式相乘问题；根据整式乘法与整式除法的关系导出整式除法法则.在本章的教学中也应该注意本章知识之间的这种逻辑关系,使学生能从整体上把握本章知识. 三、本章教学中几个值得关注的问题 1.重视运算性质和公式的发生和归纳过程的教学 本章整式乘法运算性质、除法运算性质、乘法公式的得出过程,教科书是从某些具体的数与式计算,归纳得到一般的式的运算法则,是一个由特殊到一般,从具体到抽象的归纳过程.在性质和公式的教学中,要重视上述归纳过程的教学,使学生在这个过程中理解和掌握性质和公式,并能用代数式和文字语言正确地表述这些性质,运用它们熟练地进行运算.应使学生在理解的基础上加以记忆,在运用、练习的过程中进一步加以巩固,并加深理解.另外,教科书在得到某些运算法则的过程中在逻辑上看也并不具备严密性,在教学中则应该考虑学生思维能力发展的年龄特点,把握好逻辑的适度严密性. 2．重视发挥学生的主观能动性 充分信任学生,努力发挥他们的主观能动性,让他们通过观察、思考、探究、讨论、归纳,主动地进行学习.勤于思考,善于思考,是学好数学的先决条件. 在本章中,教材安排了大量的“探究”和“思考”栏目.通过“探究”栏目让学生体验研究问题,解决问题,最后得出一般结论的过程,加深学生对问题的理解,使其既知其然,又知其所以然.本章共安排了9个“探究”栏目,许多重要结论或概念都是通过这个栏目归纳和总结出来的.在教学过程中应该充分发挥“探究”栏目的作用.通过这个栏目,学生一方面可以体验获得结论的过程,另一方面可以获得成功的喜悦. 课程改革的目的之一是促进学习方式的转变,加强学习的主动性和探究性,培养学生的创新精神和自学意识,而“思考”栏目的安排也是为实现上述的目标所做的设计之一.例如,在15.2.1节,通过对面积的讨论,可以发现平方差公式与面积之间的内在联系,进而感受到几何与代数内在的统一性.又如,在15.3.2节,通过“思考”栏目,让学生在思考具体问题的基础上自己归纳出单项式相除的法则.总之,通过“思考”栏目,学生们可以开动脑筋,加强发现探索,培养探究精神. 在本章的教学中,还要有意识地鼓励学生寻找“富有挑战性”的学习材料,适当地进行数学活动和交流,在探究、讨论、思考的过程中获得知识,培养能力.在本章的“数学活动”和“拓广探索”栏目中都设计了一些探究性的问题,老师们应该适当地安排这些问题,鼓励学生积极思维,努力探索,提高数学思维水平. 3．注意把握教学要求 根据课程标准,本章要求学生会进行简单的整式乘法（其中的多项式相乘仅指一次式之间以及一次式与二次式相乘）运算和除法运算.会推导平方差公式和完全平方公式,并了解公式的几何背景,能利用公式进行简单的计算.会用提公因式法和公式法进行因式分解（指数是正整数）. 应该看到,本章的内容都是重要的数学基础知识,应用极其广泛,对于后续学习影响很大.所以,一方面,要重视本章知识的教学,把教学要求落到实处.另一方面也应该看到,本章的教学内容与传统的教学比较,在教学要求上有了一些降低,如对于整式乘除运算的教学要求,乘法公式的教学要求,对于因式分解的介绍等,都在一定程度上降低了内容的广度和深度.教学中,老师们可能会受到教学传统习惯和思想的影响,不自觉地拓宽教学内容范围、提高教学要求.老师们要认真学习领会课程标准的思想,贯彻教科书的编写意图,在教学中按照教科书的要求组织教学,努力克服教学传统观念的影响.例如,对于因式分解,教科书只要求学生会灵活地运用提公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式）两种分解方法,对分组分解法和十字相乘法则不做要求.对于其他因式分解方法,教科书只在选学栏目中给出了一种,即 型式子的因式分解（十字相乘法）,供学有余力的同学参考.教学中就应该把握好这样的教学要求. 4．抓住教学重点和关键,突破教学难点 本章的教学重点之一是整式的乘除,包括乘法公式.从整式乘除的地位和作用可知,如果不掌握好这部分内容,会给以后的学习带来极大的困难.因此要有针对性地加强练习,务必使学生对整式的乘除运算,包括其中运用乘法公式进行计算达到熟练的程度. 在整式的乘除中,单项式的乘除是关键.这是因为其他乘除都要转化为单项式的乘除.实际上,单项式的乘除进行的是幂的运算与有理数的运算,因此幂的运算是学好整式乘除的基石. 乘法公式的结构特征以及公式中字母的广泛含义学生不易掌握,运用时容易混淆,因此乘法公式的灵活运用是本部分的难点.在教学中要引导学生分析公式的结构特征,并在练习中与所运用公式的结构特征联系起来,对所发生的错误多做具体分析,以加深学生对公式结构特征的理解. 添括号时,括号内符号的确定是本部分的另一个难点.掌握添括号法则的关键是要把添上括号后括号内的多项式与括号前面的符号看成统一体,对于这一点学生不易理解,要结合例题进行分析.学生在学习添括号时,感觉添括号比去括号要难,括号前是“—”号比括号前是“+”号要难.遇到括号前是“—”号时,学生容易漏掉括号内一部分项的变号,在讲解例题时要强调法则中“各项”的含义. 因式分解一直是初中数学教学的一个难点,原因在于分解因式的方法很多,变化技巧较高,且没有一种一般有效的方法.教学中要注意把握教学要求,防止随意拓宽内容和加深题目的难度.教科书对于因式分解这部分内容要求仅限于因式分解的两种基本方法,即提公因式法和公式法,教学中则应让学生牢固地掌握. 5．注意安排学生对选学内容的学习 教学中除了要关注学生在数学知识和数学能力方面的提高外,还要考虑在传承数学史知识及数学文化修养方面做出努力,以使学生在获得数学知识的同时人文精神也得到陶冶. 本章安排了“阅读与思考”“观察与猜想”两个选学栏目,这些选学内容是本章有关内容的拓展与延伸.不失时机地安排学生阅读这些材料,可以开阔他们的视野,拓展他们的知识面. “阅读与思考”栏目中的“杨辉三角”,不但可以使学生了解一些二项展开式中各项系数的知识从而增强他们的数学修养,还可以潜移默化地培养他们的爱国情怀.“观察与猜想”栏目,让学生初步感受分解因式的另一种方法——十字相乘方法,这有利于学生理解必修内容.