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上海华然企业咨询
2024-10-28 广告
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求微分方程 y'sinx-ycosx=1的通解
解：先求齐次方程 y'sinx-ycosx=0的通解：
分离变量得：dy/y=(cosx/sinx)dx=d(sinx)/sinx
积分之得 lny=lnsinx+lnc₁=ln(c₁sinx)
∴齐次方程的通解为 y=c₁sinx；将c₁换成x的函数u，得y=usinx........①
对①求导得：y'=u'sinx+ucosx...........②；
将①和②代入原式得：(u'sinx+ucosx)sinx-usinxcosx=u'sin²x=1
分离变量得du=csc²xdx；积分之得u=∫csc²xdx=-cotx+c
将u之值代入①式，即得原方程的通解为：y=(c-cotx)sinx=csinx-cosx,
解：先求齐次方程 y'sinx-ycosx=0的通解：
分离变量得：dy/y=(cosx/sinx)dx=d(sinx)/sinx
积分之得 lny=lnsinx+lnc₁=ln(c₁sinx)
∴齐次方程的通解为 y=c₁sinx；将c₁换成x的函数u，得y=usinx........①
对①求导得：y'=u'sinx+ucosx...........②；
将①和②代入原式得：(u'sinx+ucosx)sinx-usinxcosx=u'sin²x=1
分离变量得du=csc²xdx；积分之得u=∫csc²xdx=-cotx+c
将u之值代入①式，即得原方程的通解为：y=(c-cotx)sinx=csinx-cosx,
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