Question

解常微分方程

解常微分方程学到了可解出y或x的微分方程1

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Answer 1

(dy/dx)^2-2(y/x)(dy/dx)+4=0
令u=y/x，则y=ux，dy/dx=u+xdu/dx
(u+xdu/dx)^2-2u(u+xdu/dx)+4=0
-u^2+x^2*(du/dx)^2+4=0
(du/dx)^2=(u^2-4)/x^2
du/dx=±√(u^2-4)/x
∫du/√(u^2-4)=∫±dx/x
ln|u+√(u^2-4)|=±ln|x|+C
u+√(u^2-4)=Cx或C/x
y/x+√(y^2/x^2-4)=Cx或C/x
y+√(y^2-4x^2)=Cx^2或C
√(y^2-4x^2)=Cx^2-y或C-y
y^2-4x^2=C^2x^4-2yCx^2+y^2或C^2-2yC+y^2
y=(C^2x^2+4)/2C或(C^2+4x^2)/2C
=(C/2)*x^2+2/C或C/2+(2/C)*x^2
由C的任意性，得：y=Cx^2+1/C，其中C是任意非零常数