Question

已知函数f(x)=1/3x^3+1/2(a-1)x^2+bx(a,b为常数）在x=1和x=4处取得极值

已知函数f(x)=1/3x^3+1/2(a-1)x^2+bx(a,b为常数）在x=1和x=4处取得极值（1）求函数f(x)的解析式（2）当x属于{-2，2}时，y=f(x)的图象在直线5x+2y-c=0的下方，求c的取值范围

Answer 1

因为函数f(x）在x=1和x=4处取得极值，所以f(x）的导函数等于0的两个根就是1和4，即f(x）导函数=x的平方+（a-1）x+b=0的两个根就是1和4，得到a=-4，b=4.得到函数f(x)的解析式。
（2）：因为当x属于{-2，2}时，y=f(x)的图象在直线5x+2y-c=0的下方，所以
y=f(x)在区间{-2，2}上的最大值不能超过直线5x+2y-c=0，由导函数的性质可知：可能的极值点是x=1、-2或者2，f(1)=11/6，f(-2)=-62/3，f(2)=2/3.得到f(x)在区间{-2，2}上的最大值为maxf(1)=11/6，所以当x=1时直线5x+2y-c=0的y=0.5c-2.5，这个值要大于等于maxf(1)=11/6，即0.5c-2.5大于等于11/6，得到c大于等于26/3