Question

求助，这一题高数怎么做？

Answer 1

由罗必塔法则有：原式=lim<x→0>(sec²x-cosx)/(3x²)
=lim<x→0>(2secx*secxtanx+sinx)/(6x)
=lim<x→0>(2sec²x*tanx+sinx)/(6x)
=lim<x→0>(2sec²x+1)/6
=1/2

Answer 2

令g(x)=xf(x)，则根据题意，g(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导
f(1)=2∫(0,1/2)g(x)dx，根据积分中值定理，在[0,1/2]上存在一点m，使得：
f(1)=2∫(0,1/2)g(x)dx=2*(1/2)*g(m)=g(m)
因为g(1)=f(1)
所以g(m)=g(1)，根据罗尔定理，在(m,1)中存在一点n，使得：
g'(n)=0
nf'(n)+f(n)=0
因为n∈(m,1)包含于(0,1)
所以存在n∈(0,1)，使得nf'(n)+f(n)=0