Question

答案中的π是怎么算出来的

x趋于无穷，(1+2|x|)/(x+2)arctanx的极限怎么求，详细一点

Answer 1

在数学史上，圆周率π的精确度，始终引起人们极大的关注，并成为衡量一个国家数学发展水平的标志．纵观π的计算史，其计算方法大致可分为：几何法、解析法、实验法、电子计算机计算法．

一、几何法 在公元前240年左右，阿基米德在他的《圆的度量》一书中首先采用”穷竭法”求π的值．“穷竭法”即用圆的内接和外切正多边形周长逼近圆周长．他作出了正96边形，并由此得到π的值为

术”即用圆的内接正多边形的面积逼近圆的面积．他算到了正192边形

祖冲之在刘徽工作的基础上，求出圆内接正12288边形和正24576边形的面积，得到

3.1415926＜π＜3.1415927．

祖冲之的π值纪录，保持了将近一千年．直到公元1427年中亚数学家阿尔·卡西计算了圆内接和外切正3×228边形的周长后，得到π值的17位小数．公元1610年，德国人鲁道夫花费了毕生精力，计算了正262边形的周长后，得到π的35 位小数值．鲁道夫的工作，表明了几何法求π的方法己走到尽头．1630年格林贝格(Grien berger)用几何法计算π至 39位小数．这是几何法的最后尝试，也是几何法的最高纪录．

二、解析法 圆周率计算上的第一次突破，是以手求π的解析表达式开始的．著名法国数学家韦达(1540—1603)做出了开创性的工作．在《数学定律，应用于三角形》一书中，得到了

他计算出3.1415926535＜π＜3.1415926537．显然他的π精确度不是当时世界领先水平，但利用一个无穷级数去刻划π值却开创了一个崭新的方向．

1671年，英国圣安德鲁大学教学教授格雷戈里(1638—1675)提出了著名的级数：

但他并未注意到，当x=1时，这一级数为：

格雷戈里的工作具有普遍性，成为解析法求π值的基础．在后来的二百多年里，许多人利用这一公式稍作修改并进行大量计算．不断刷新π值的世界纪录，1706年，英国的梅钦(1680—1751)利用格氏级数及其

破π的百位大关．继此之后，利用反正切展开式计算π的公式相继出现，π的位数也直线上升．1948年1月，英国的弗格森(D．F．Fergnson)与美国的伦奇(J．W．Wrench)用解析法得到π的 808位准确值，创造了甲级数方法的最高纪录，结束了用级数方法计算π值的阶段．这也是手工计算π的最高纪录，此后再没有人用手算与他们较量了．

三、实验法 1777年法国自然科学家蒲丰(1707—1788)出版了《能辨是非的算术实验》一书，提出了著名的“蒲丰实验”：在画有一组距离为a的平行线的平面上，随意投下长度为l(l＜a)的针．若投

1901年意大利数学家拉兹瑞尼用蒲丰的方法，仅投针3408次就轻松地得到π=3.1415929．这与π的精确值相比，一直到小数点后第七位才出现不同．

尽管这一方法远不如解析法便捷，且π的精确度也大为逊色．但它揭示了分析方法与概率方法之间的联系，向人们暗示了数学本质的某种统一性，促使人们深入探讨π的种种性质．开辟了π研究的新方向．

四、电子计算机计算法

自从第一台电子计算机ENIAC在美国问世之后，立刻取代了繁杂的π值的人工计算，使π的精确度出现了突飞猛进的飞跃．1949年，美国人赖脱威逊利用ENIAC计算机花了70个小时把π算到2034位，一下子就突破了千位大关，1955年，一台快速计算机竟在33个小时内。把π算到10017位，首次突破万位，1996年东京大学的一组数学家曾花了36个小时，在计算机上算出了π的32.3亿位小数．但是将前纪录保待了4年之久的美国数学家丘德诺夫斯基兄弟采用了新方法又获得了超过40亿位数的π．现在人们利用电子计算机将π算到了小数点后42.9亿多．如果把这一串数字打印出来，每厘米打印六个数字，那么整个数字的长度接近7200千米．比从德国柏林到美国芝加哥的距离还长．

不过电子计算机只是工具，它仍需用解析法的公式，可算是解析法的延伸和发展．其实这时π的计算变成了算法的精巧构思和机器速度的较量．除了显示电子计算机威力和检验机器效果之外，π的位数已无任何现实价值．

从π的计算可以看出，计算方法的每一次创新，都带来π的位数的巨大突破，但每一种方法都有上限：几何法因人们测量误差而不可能超过百位；解析法又因计算量聚增而局限于千位之内；实验法的指导意义大于它的实用价值；电子计算机同样受机器速度的影响，而不可能无限制地算出π值．

追问

看看追问

追答

一般我们使用只需要小数点后两位，即3.14。你想用多少位

Answer 2

π的真正意义是一个代数的符号。
如果π是表示正6x2ⁿ边形的周长与过中心点的对角线的比，那么π值就是3.1415926...。此比值是根据正6x2ⁿ边形的周长和过中心点的对角线之间的比例关系算出来的，π为正6x2ⁿ边率。
如果π是代表圆的周长与直径的比，那么π值就是3分之6+2√3或是3.1547005383...。此比值是根据圆的周长和直径之间的比例关系算出来的，π又为圆周率。
注意：正6x2ⁿ边形的对角线与圆的直径相等时，不等于正6x2ⁿ边率就是圆周率。