Question

如何确定一个向量组的生成子空间的基和维数

Answer 1

【知识点】

若矩阵A的特征值为λ1，λ2，，λn，那么|A|=λ1·λ2··λn

【解答】

|A|=1×2××n= n！

设A的特征值为λ，对于的特征向量为α。

则 Aα = λα

那么 (A2-A)α = A2α - Aα = λ2α - λα = (λ2-λ)α

所以A2-A的特征值为 λ2-λ，对应的特征向量为α

A2-A的特征值为 0 ，2，6，，n2-n。

扩展资料：

A1=1 00 0与 A2=0 11 0线性无关, 且任一个空间中的向量可由它线性表示所以向量空间的维数是2, 基为A1，A2。

只有方程齐次线性方程组 x+y-2z=0 基础解系，y,z作自由变量, 令y=1,z=0, 解得 x=-1即得组解 (-1,1,0)，

令y=0,z=1, 解得 x=2即得另组解 (2,0,1)，两组解合起来方程 x+y-2z=0 组基础解系也空间W组基。

至于同空间基数相同线性代数里有章讨论线性相关无关极大无关组秩等概念。

参考资料来源：百度百科——维度

Answer 2

设矩阵为A,如下步骤：

1）先求出矩阵A的特征值λ1,λ2,……,λn

2）对应于每个特征值解方程组|λE-A|=0

3）上面每个方程组的解都是对应特征值的一个特征向量空间,解的维数就是特征空间的维数,解得基就是特征空间的基

Answer 3

【知识点】
若矩阵A的特征值为λ1，λ2，，λn，那么|A|=λ1·λ2··λn

【解答】
|A|=1×2××n= n！
设A的特征值为λ，对于的特征向量为α。
则 Aα = λα
那么 (A2-A)α = A2α - Aα = λ2α - λα = (λ2-λ)α
所以A2-A的特征值为 λ2-λ，对应的特征向量为α

A2-A的特征值为 0 ，2，6，，n2-n

【评注】
对于A的多项式，其特征值为对应的特征多项式。
线性代数包括行列式、矩阵、线性方程组、向量空间与线性变换、特征值和特征向量、矩阵的对角化，二次型及应用问题等内容。