Question

大一高数证明题

大一高数证明题设f（x）在[a,b]上连续，（a，b）内可导，且f’（x）≠0，f（a）f（b）＜0，证明f（x）＝0在（a，b）内有且只有一个实根。

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Answer 1

令t=arctanx,则x=tant,x→0,则t→0，即，求证t→0时t=tant,tant=sint/cost,
tant/t=(sint/t)*(1/cost),t→0时，sint/t=1，1/cost=1，故，tant/t=1，得证。
所以t→0时t=tant，即，x→0时，有：arctanx~x

Answer 2

中值定理，有零点，假设有多个零点，由rolle定理，导数有零点，矛盾，证毕

追问

罗尔定理的结论不是（a，b）内至少一点吗？怎么矛盾的？(⊙_⊙?)

追答

我忘了定理名字了，反正就是闭区间上的可导函数有两处点函数值相同，则之间有一点导数为零

对呀，就是罗尔定理

前面中值证明了存在性，后反证证明唯一性

条件里有导数不为零，这是矛盾的地方

追问

您能写一下吗？我觉得这题根本用不了罗尔定理。

（3）的条件f’（x）≠0和f（a）＝f（b）的逆用也不合理

至少一个的逆命题是一个都没有。

所以我不能理解，拜托您好好讲一下，谢谢！

追答

你说的啥，我咋没看懂，我详细写写吧