请问1/(1+x)的泰勒展开式是什么？
一、分析与解答
1.1）分析：函数的泰勒展开式要以某点为中心展开，若以原点(x=0)为中心展开，则为泰勒级数的特殊形式——麦克劳林公式，若没有考虑以x=x0，x0可以为任意值的情况，则不算完整解答了该函数的泰勒展开式。
1.2）答：函数(1+x)^(-1)以x=x0为中心的泰勒展开式如下图所示：
二、泰勒级数的展开方法
泰勒级数是用一类无限项连加式来表达函数的级数。若表达式为x的幂级数，则称为麦克劳林级数，为泰勒级数的特殊形式。泰勒展开式公式如图所示：
三、推导过程
3.1）求(1+x)^(-1)的高阶导数表达式，用于求其泰勒展开式，如下图：
3.2）代入泰勒展开式公式①和该函数的高阶导数公式②，得：(如图)
四、泰勒级数的用途
4.1）求函数的数值
对于1/(1+x)而言，此函数本身就较为简单，直接计算即可。但对于一些定义复杂的函数，如三角函数，则其一般函数值的精确计算要依赖于泰勒级数。举例如图所示：
需要注意的是：sin1为无理数，就如同π一样，只能精确到有限位。利用泰勒公式，可以将很多复杂的函数(有些特殊的函数例外)转化为只有加减乘除的式子进行计算，而且计算精度可以确定。著名的圆周率π现代的数值算法，也应用了泰勒级数的原理。
4.2）数学理论分析和计算
泰勒级数展开式将简单的函数式子化为无穷多项幂函数，看似化简为繁。但事实上泰勒级数可以解决很多数学问题。
如：①求极限时可以用函数的麦克劳林公式(泰勒展开式的特殊形式)；
②一些难以积分的函数，将函数泰勒展开变为幂级数，使其容易积分；
③复杂离散函数的多项式拟合，用于统计学和预测算法；
④一些数学证明，有时需要将复杂函数化为格式高度统一的幂级数来证明。
此类例子数不胜数，不可能一一列举。
（插图用绿色背景展示，以证明其为本人编辑。）
(1+x)^a的泰勒展开式
1+C(a,1)x+C(a,2)x²+C(a,3)x³+....
=1+ax+a(a-1)/2! x²+a(a-1)(a-2)/3! x³+。。。。。
其中把a=-1代入上面公式即可。
泰勒公式
是将一个在x=x0处具有n阶导数的函数f(x)利用关于(x-x0)的n次多项式来逼近函数的方法。
若函数f(x)在包含x0的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数，且在开区间(a,b)上具有(n+1)阶导数，则对闭区间[a,b]上任意一点x，成立下式：
其中，表示f(x)的n阶导数，等号后的多项式称为函数f(x)在x0处的泰勒展开式，剩余的Rn(x)是泰勒公式的余项，是(x-x0)n的高阶无穷小。
数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。
泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒。他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式，尽管1671年詹姆斯·格雷高里已经发现了它的特例。拉格朗日在1797年之前，最先提出了带有余项的现在形式的泰勒定理。
泰勒级数（英语：Taylor series）
用无限项连加式——级数来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点的导数求得。泰勒级数是以于1715年发表了泰勒公式的英国数学家布鲁克·泰勒（Sir Brook Taylor）的名字来命名的。通过函数在自变量零点的导数求得的泰勒级数又叫做迈克劳林级数，以苏格兰数学家科林·麦克劳林的名字命名。 泰勒级数在近似计算中有重要作用。
