Question

已知数列的通项公式为an=n^2+n,怎么求它的前n项和?

Answer 1

Sn=a1+a2+a3+……+an
=(1^2+1)+(2^2+2)+(3^2+3)+……+(n^2+n)
=(1^2+2^2+3^2+……+n^2)+(1+2+3+……+n)
=n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2
=n(n+1)(2n+4)/6

附：参考公式
1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

证明：
我们知道 (m+1)^3 - m^3 = 3×m^2 + 3×m + 1，可以得到下列等式：

2^3 - 1^3 = 3×1^2 + 3×1 + 1
3^3 - 2^3 = 3×2^2 + 3×2 + 1
4^3 - 3^3 = 3×3^2 + 3×3 + 1
.........
(n+1)^3 - n^3 = 3.n^2 + 3×n + 1

以上式子相加得到
(n+1)^3 - 1 = 3×Sn + 3×n(n+1)/2 + n
其中Sn = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ...... + n^2
化简整理得到：
Sn = n(n + 1)(2n + 1)/6

Answer 2

分组求和：Sn=(1^2+2^2+...n^2)+（1+2+3+...+n）
=[n(n+1)(2n+3)/6]+[n(n+1)/2]

Answer 3

分成两项，an1=n2 an2=n,求出结果再相加