Question

已知a、b、c为△ABC的三边，且方程（x-a）（x-b）+（x-b）（x-c）+（x-c）（x-a）=0有两个相等的实根，

已知a、b、c为△ABC的三边，且方程（x-a）（x-b）+（x-b）（x-c）+（x-c）（x-a）=0有两个相等的实根，试判断△ABC的形状．
请问最后△如何整理，我感觉这道题很迷茫，算出△就不知道怎么做了

Answer 1

• （x-a）（x-b）+（x-b）（x-c）+（x-c）（x-a）=0

  x²-(a+b)x+ab+x²-(b+c)x+bc+x²-(a+c)x+ac=0

  3x²-2(a+b+c)x+ab+bc+ac=0有两个相等的实根

  Δ=4(a+b+c)²-12(ab+bc+ac)=0

  即(a+b+c)²-3(ab+bc+ac)=0

  a²+2ab+b²+2ac+2bc+c²-3(ab+bc+ac)=0

  a²-ab+b²-ac-bc+c²=0

  2a²+2b²+2c²-2ab-2ac-2bc=0
  (a²-2ab+b²)+(b²-2bc+c²)+(c²-2ac+a²)=0
  (a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=0
  ∴a-b=b-c=c-a=0
  ∴a=b=c
  ∴三角形ABC是等边三角形

Answer 2

等边三角形
解析：
(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)=0
3x²-2(a+b+c)x+(ab+bc+ca)=0
Δ
=4(a+b+c)²-12(ab+bc+ca)
=2(2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ca)
=2[(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²]
=0
故，a=b=c

Answer 3

爱你一万年太久…