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求微分方程y'+y=e^(-x)的通解
先求齐次方程y'+y=0的通dy/dx=-y,分离变量得dy/y=-dx；
积分之,得lny=-x+lnC₁,即y=e^(-x+lnC₁)=C₁e^(-x)；
为求原方程的通解,可用参数变易法：把积分常量C₁改为x的某个函数u,得：y=ue^(-x).(1)
将(1)的两边对x取导数得dy/dx=e^(-x)(du/dx)-ue^(-x).(2)
将(1)和(2)代入原式得e^(-x)(du/dx)-ue^(-x)+ue^(-x)=e^(-x)；
即有e^(-x)(du/dx)=e^(-x),于是得du/dx=1,故得u=x+C；代入(1)式,即得原方程的通解为：
y=(x+C)e^(-x).
先求齐次方程y'+y=0的通dy/dx=-y,分离变量得dy/y=-dx；
积分之,得lny=-x+lnC₁,即y=e^(-x+lnC₁)=C₁e^(-x)；
为求原方程的通解,可用参数变易法：把积分常量C₁改为x的某个函数u,得：y=ue^(-x).(1)
将(1)的两边对x取导数得dy/dx=e^(-x)(du/dx)-ue^(-x).(2)
将(1)和(2)代入原式得e^(-x)(du/dx)-ue^(-x)+ue^(-x)=e^(-x)；
即有e^(-x)(du/dx)=e^(-x),于是得du/dx=1,故得u=x+C；代入(1)式,即得原方程的通解为：
y=(x+C)e^(-x).
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