Question

如何判断一个矩阵是否可以相似对角化？

Answer 1

n级矩阵A可对角化＜=＞A的属于不同特征值的特征子空间维数之和为n。

实际判断方法：

1、先求特征值，如果没有相重的特征值，一定可对角化；

2、如果有相重的特征值λk，其重数为k，那么你通过解方程（λkE-A）X=0得到的基础解系中的解向量若也为k个，则A可对角化，若小于k，则A不可对角化。

此外，实对称矩阵一定可对角化。

扩展资料：

若n阶矩阵A有n个不同的特征值，则A必能相似于对角矩阵。

说明：当A的特征方程有重根时，就不一定有n个线性无关的特征向量，从而未必能对角化。

设M为元素取自交换体K中的n阶方阵，将M对角化，就是确定一个对角矩阵D及一个可逆方阵P，使M=PDP-1。设f为典范对应于M的Kn的自同态，将M对角化，就是确定Kn的一个基，使在该基中对应f的矩阵。

参考资料来源：百度百科——对角化

Answer 2

1. 找到一个矩阵，我们对这个矩阵进行是否能够对角化的判断，我们暂且对把这个定义成A矩阵

   

2. 我们需要用到一个公式，如下图所示，我们这一步就是直接按照公式套入就可以了。

3. 我们需要把上一步得到的结果进行整理，结果是一个行列式。我们就直接按照行列式的展开法则进行展开。

   

4. 我们根据上一步最终的算式，得出这个算式的指，也就是这个行列式的特征根。

5. 我们得到这个行列式的特征根之后需要做的就是对这两个根进行讨论，然后求出来基础解系，然后我们根据基础解系来判断是否能够进行对角化。

Answer 3

简单分析一下即可，答案如图所示

Answer 4

1-存在可逆矩阵p,使得p-1Ap＝对角阵
2-有n个线性无关的特征向量
3-最小多项式可分解为互素一次因式的乘积
4-初等因子都是一次的
5-每个特征值的重数等于对应特征子空间的维数
6-属于不同特征值的特征子空间的维数之和等于n
7-存在一个零化多项式可分解成互素一次因式的乘积

Answer 5

①实对称？→是→√
②不是实对称→
|A-入E丨=O，入有n个？→是→√
③入不是n个，出现k重根？→是→
R（A-入E）=n-k？→是→√
目前只有以上三种情况