Question

一道奥数题

Answer 1

（1）

∵△ABC是等腰直角三角形，且∠BAC＝90°，∴AB＝AC、∠ABC＝∠ACB＝45°。
∵AD⊥BC，∴B、C关于AD对称，∴∠ABM＝∠ACM＝15°，
又∠BCE＝15°、∠ACB＝45°，∴∠ECM＝15°。
由∠EBM＝∠ECM＝15°，得：B、E、M、C共圆。
（2）
∵B、C关于AD对称，∴∠NBC＝∠NCB＝15°，∴由三角形外角定理，有：∠ENB＝30°。
∵∠ABC＝45°、∠NBC＝15°，∴∠EBN＝30°，又∠ENB＝30°，∴∠EBN＝∠ENB，
∴EB＝EN。
∵B、E、M、C共圆，∴∠EMB＝∠BCE＝15°，又∠EBM＝15°，∴∠EBM＝∠EMB，
∴EB＝EM，又EB＝EN，∴E是△BMN的外心。