“立方和、立方差”公式是什么？
a^3-b^3=(a-b)^3-[-3(a^2)b+3ab^2]=(a-b)(a-b)^2+3ab(a-b)
=(a-b)(a^2-2ab+b^2+3ab)=(a-b)(a^2+ab+b^2)
有立方和公式及其推广:
(1) a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
立方和公式
a^3+b^3=(a+b) (a^2-ab+b^2）
折叠立方差公式
a^3-b^3=(a-b) (a^2+ab+b^2）
折叠3项立方和公式
a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)
推导过程：
a^3+b^3+c^3-3abc
=(a^3+3a^2 b+3ab^2+b^3+c^3）-（3abc+3a^2 b+3ab^2）
=[(a+b)^3+c^3]-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a^2+b^2+2ab-ac-bc+c^2）-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2+2ab-3ab-ac-bc)
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)
折叠编辑本段文字表达
折叠立方和，差公式
两数和（差），乘它们的平方和与它们的积的差（和），等于这两个数的立方和（差）
折叠3项立方和公式
三数之和，乘它们的平方和与它们两两的积的差，等于这三个数的立方和减三数之积的三倍
折叠编辑本段公式证明
⒈迭代法：
我们知道：
0次方和的求和公式ΣN^0=N 即1^0+2^0+...+n^0=n
1次方和的求和公式ΣN^1=N(N+1）/2 即1^1+2^1+...+n^1=n(n+1）/2
2次方和的求和公式ΣN^2=N(N+1）（2N+1）/6 即1^2+2^2+…+n^2=n(n+1）（2n+1）/6——平方和公式，此公式可由同种方法得出，取公式（x+1）^3-x^3=3x^2+3x+1，迭代即得。
取公式：（X+1）^4-X^4=4×X^3+6×X^2+4×X+1
系数可由杨辉三角形来确定
那么就得出：
（N+1）^4-N^4=4N^3+6N^2+4N+1…………⑴
N^4-(N-1）^4=4(N-1）^3+6(N-1）^2+4(N-1）+1…………⑵
（N-1）^4-(N-2）^4=4(N-2）^3+6(N-2）^2+4(N-2）+1…………⑶
…………
2^4-1^4=4×1^3+6×1^2+4×1+1…………（n)
.
于是⑴+⑵+⑶+……+(n）有
左边=(N+1）^4-1
右边=4（1^3+2^3+3^3+……+N^3）+6（1^2+2^2+3^2+……+N^2）+4（1+2+3+……+N)+N
所以呢
把以上这已经证得的三个公式代入
4（1^3+2^3+3^3+……+N^3）+6（1^2+2^2+3^2+……+N^2）+4（1+2+3+……+N)+N=(N+1）^4-1
得4（1^3+2^3+3^3+……+N^3）+N(N+1）（2N+1）+2N(N+1）+N=N^4+4N^3+6N^2+4N
移项后得 1^3+2^3+3^3+……+N^3=1/4 (N^4+4N^3+6N^2+4N-N-2N^2-2N-2N^3-3N^2-N)
等号右侧合并同类项后得 1^3+2^3+3^3+……+N^3=1/4 (N^4+2N^3+N^2）
即
1^3+2^3+3^3+……+N^3= 1/4 [N(N+1）]^2
大功告成！
立方和公式推导完毕
1^3+2^3+3^3+……+N^3= 1/4 [N(N+1）]^2
2. 因式分解思想证明如下：a^3+b^3=a^3+a^2×b+b^3-a^2×b
=a^2(a+b)-b(a^2-b^2）=a^2(a+b)-b(a+b)(a-b)
=(a+b)[a^2-b(a-b)]=(a+b)(a^2-ab+b^2）
折叠编辑本段公式延伸
正整数范围中 1^3 + 2^3 + …… n^3 = [n (n+1） / 2]^2=（1+2+……+n)^2
折叠编辑本段几何验证
x^3+y^3
把两个立方体对角贴在一起，根据虚线，可间接得到：
（x+y)^3
要得到x^3+ y^3，可使用（x + y)^3的空白位置。该空白位置可分割为3个部分：
·x×y×（x+y)
·x×（x+y）×y
·（x+y）×x×y
把三个部分加在一起，便得：
=xy(x+y)+xy(x+y)+xy(x+y)
=3xy(x+y)
之后，把（x + y)^3减去它，便得：=(x+y)^3-3xy(x+y）公式发现两个数项皆有一个公因子，把它抽出，并得：
=(x+y)[(x+y)^2-3xy]
（x + y)^2可透过和平方公式，得到：
=(x + y)(x ^2+ 2xy + y^2-3xy)
=(x + y)(x ^2− xy + y^2）
这样便可证明：x^3+y^3=(x + y)(x^2 − xy + y^2）
折叠编辑本段关于因数
一般而言，任取一自然数N，他的因数有1，n1,n2,n3，……，nk,N，这些因数的因数个数分别为1，m1,m2,m3，……，mk,k+2，则
1^3+m1^3+m2^3+m3^3+……+mk^3+(k+2）^3
=（1+m1+m2+m3+……+mk+k+2）^2
我们发现，上述规律对素数p是永远成立的，因为素数p的因数只有1和p，因数的个数只有1和2，所以成立。
合数的验证方法可以从因数个数出发证明，有中学水平的人可以自己证明。
比如120，有因数
1，2，3，4，5，6，8，10，12，15，20，24，30，40，60，120；它们的因数个数为
1，2，2，3，2，4，4，4，6，4，6，8，8，8，12，16，
1^3+2^3+2^3+3^3+2^3+4^3+4^3+4^3+6^3+4^3+6^3+8^3+8^3+8^3+12^3+16^3=8100
（1+2+2+3+2+4+4+4+6+4+6+8+8+8+12+16）^2=8100
