Question

不定积分性质

不定积分性质两题求解

Answer 1

性质1：设a与b均为常数，则f(a->b)[a*f(x)+b*g(x)]dx=a*f(a->b)f(x)dx+b*f(a->b)g(x)dx
性质2：设a<c<b,则f(a->b)f(x)dx=f(a->c)f(x)dx+f(c->b)f(x)dx
性质3：如果在区间【a,b】上f(x)恒等于1,那么f(a->b)1dx=f(a->b)dx=b-a
性质4：如果在区间【a,b】上f(X)>=0,那么f(a->b)f(x)dx>=0(a<b)
性质5：设M及m分别是函数f(x)在区间【a,b】上的最大值和最小值，则m(b-a)<=f(a->b)f(x)dx<=M(b-a) (a<b)
性质6（定积分中值定理）：如果函数f(x)在积分区间【a,b】上连续，那么在【a,b】上至少存在一个点c，使得f(a->b)f(x)dx=f(c)(b-a) (a<=c<=b)成立。

Answer 2

In=∫1/x^n√(x^2+1) dx

=∫1/x^(n+1) *x/√(x^2+1) dx

=∫1/x^(n+1) *d√(x^2+1)

= √(x^2+1)/x^(n+1) + (n+1)∫√(x^2+1)/x^(n+2) dx

= √(x^2+1)/x^(n+1) + (n+1)∫(x^2+1)/x^(n+2)√(x^2+1) dx

= √(x^2+1)/x^(n+1) +(n+1){∫1/x^n√(x^2+1) dx +∫1/x^(n+2)√(x^2+1) dx }

= √(x^2+1)/x^(n+1) + (n+1){ In +I(n+2) }

I(n+2)= -n/(n+1)*In - 1/(n+1)*√(x^2+1)/x^(n+1)