Question

高数，极坐标计算二重积分

求解：∬（x²y+k）dxdy，区域D：（x-1）²+y²≤a²，谢谢。

Answer 1

楼上答非所问

结果是kπa²。

追答

早知道用白纸回答，小黑板写不下，所以写的很别扭。
为什么x²y部分积分为0？是因为积分区域D关于x轴( y=0)对称，而x²y是关于y的奇函数，所以x轴上下恰好抵消。
我一开始没注意到这个规律，不然不需要写这么一大坨。

而常数k在区域D的积分，显然就是k倍D的面积，所以直接用圆形面积公式解决

追问

但是为什么黄色圆圈处是0不是1？我学的时候，老师是把x和y化成图2的形式的，请问和您的做法是一样的吗，谢谢！

追答

不一致，我是x-1=ρcosθ，好处是区域D方便表示，被积函数稍微复杂了一点。不过用哪种解法结果都一样。
所以我的积分区间是ρ从0到a，半径嘛！
此题其实，可以用说明的方法，直接写出结果，这才是高手解法，我是做到后面才发现的，所以我的水平还是很平庸啊o(╥﹏╥)o。

追问

哈哈哈，所以其实可以直接画个图，然后说明x²y是奇函数，然后直接得出0。直接求k部分就好了吧？谢谢大神！

Answer 2

I=∫∫[D] e^(-xy) ·sinxdxdy
其中D = [0,+∞)×[0,+∞),
今按两种不同的次序进行积分得
I=∫[0 +∞]sinxdx∫[0 +∞]e^(-xy)dy
= ∫[0 +∞]sinx·(1/x)dx=π/2