Question

A（0,-2），椭圆E：x²/a²+y²/b²（a>b>0）,e=二分之根号三，f为右焦点

过A的动直线L与E交于P，Q两点，当三角形OPQ的面积最大时，求L方程
直线AF的斜率为三分之二倍根号三

Answer 1

猜E:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),①
离心率e=√3/2,
∴(a^2-b^2)/a^2=3/4,
∴a^2=4b^2.
设直线AB:y=kx-2,都代入①*4b^2，得
x^2+4(k^2x^2-4kx+4)=4b^2,
整理得(1+4k^2)x^2-16kx+16-4b^2=0,
△=256k^2-4(1+4k^2)(16-4b^2)=16[16k^2-(1+4k^2)(4-b^2)]=16(4b^2k^2+b^2-4),
|PQ|=√[△(1+k^2)]/(1+4k^2),
O到AB的距离h=2/√(1+k^2),
∴S△OPQ=(1/2)|PQ|h=√△/(1+4k^2)=4√(b^2t+b^2-4)/(1+t),记为f(t),其中t=4k^2>=0,
由f'(t)=0得(1+t)/√(b^2t+b^2-4)-2√(b^2t+b^2-4)=0,
∴1+t=2(b^2t+b^2-4),
9-2b^2=(2b^2-1)t,
t=(9-2b^2)/(2b^2-1)=4k^2,
缺一个条件，无法求k的值.