Question

高等数学，微分方程，变上限积分函数。题目如图，

请 写出 详细过程，最好用常数变异法做。

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Answer 1

对x求导得
f'(x)+2f(x)=2x
即f'(x)=-2f(x)+2x
先求齐次方程f'(x)=-2f(x)
df(x)/f(x)=-2dx
ln|f(x)|=-2x+C
即f(x)=C e^(-2x)
由常数变易法，令f(x)=C(x) e^(-2x)
则f'(x)=C'(x) e^(-2x) - 2C(x) e^(-2x)
代入原方程得
C'(x)=2x e^(2x)
C(x)=∫2x e^(2x) dx
=∫xd[e^(2x)]
=x e^(2x)-∫e^(2x) dx
=x e^(2x)-½ e^(2x) +C
故原方程的通解为
f(x)=x - ½ +C e^(-2x)
将x=0代入题目中的方程，得f(0)=0
故f(0)=-½ +C=0，C=½
故f(x)=x - ½ +½ e^(-2x)