Question

为什么图像的傅里叶频谱集中于四个角

求推导过程

Answer 1

在频域中,频率越大说明原始信号变化速度越快；频率越小说明原始信号越平缓.当频率为0时,表示直流信号,没有变化.因此,频率的大小反应了信号的变化快慢.高频分量解释信号的突变部分,而低频分量决定信号的整体形象.
在图像处理中,频域反应了图像在空域灰度变化剧烈程度,也就是图像灰度的变化速度,也就是图像的梯度大小.对图像而言,图像的边缘部分是突变部分,变化较快,因此反应在频域上是高频分量；图像的噪声大部分情况下是高频部分；图像平缓变化部分则为低频分量.也就是说,傅立叶变换提供另外一个角度来观察图像,可以将图像从灰度分布转化到频率分布上来观察图像的特征.书面一点说就是,傅里叶变换提供了一条从空域到频率自由转换的途径.
另外,关于变换后频谱图像是四角亮的问题,主要是因为变换后的四角位置刚好对应着图像的低频成分,而一般来说图像的能量都集中在低频分量上,因此变换后低频位置处的幅度会大些,显示出来就更亮了.

追问

那为什么是左右上下四个角呢？为什么会是对称的？有没有公式推导