高数有关定积分证明的问题 5
f(x)是定义在[0,1]上的连续可微函数，且∫(0→1/2)f(x)dx=0,证明:∫(0→1)(f'(a))"^2dx2≥12∫(0→1)(f(x)dx)^2...
f(x)是定义在[0,1] 上的连续可微函数，且∫(0→1/2) f(x)dx= 0,证明:∫(0→1)(f'(a))"^2dx 2≥12∫(0→1)( f(x)dx)^ 2
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证明：由积分中值定理,存在η∈(0,1/2)使
2∫[0→1/2] xf(x) dx=2*ηf(η)*(1/2)=ηf(η)=f(1)
令g(x)=xf(x),则g(η)=ηf(η)=f(1),g(1)=f(1)
因此g(x)在[η,1]内满足罗尔中值定理条件,
即存在ξ∈(η,1),使g'(ξ)=0,且g'(x)=f(x)+xf '(x)
因此：g'(ξ)=0即：f(ξ)+ξf '(ξ)=0.证毕
2∫[0→1/2] xf(x) dx=2*ηf(η)*(1/2)=ηf(η)=f(1)
令g(x)=xf(x),则g(η)=ηf(η)=f(1),g(1)=f(1)
因此g(x)在[η,1]内满足罗尔中值定理条件,
即存在ξ∈(η,1),使g'(ξ)=0,且g'(x)=f(x)+xf '(x)
因此：g'(ξ)=0即：f(ξ)+ξf '(ξ)=0.证毕
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